发布时间 : 星期六 文章广西大学数学建模习题精选更新完毕开始阅读39ead3fbb8f67c1cfad6b810
证明结果应为n?Mg/4ml步，分析这个结果是否合理？
9．在正规战争模型(3)中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a/b?4，初始兵力x0与y0相同。
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定．
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负．
10．建立的二室模型来建立一室模型(只有中心室)，在快速静脉注射、恒速静脉滴射（持续时间为?)和口服或肌肉注射3种结药方式下求解血药浓度，并四出血药浓度曲线的图形。
11．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．
(1) 推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已来用新技术的人数成正比，推广是无限的．
(2) 总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。
(3) 在(2)的前提下考虑广告等媒介的传播作用．
12．建立铅球掷远模型．不考虑阻力，设铅球初速为v，出手高度为h，出手角度为? (与地面夹角)．建立投掷距离与v,h,?的关系式，并在v,h一定的条件下求最佳出手角度。
第三部分练习
1．在节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律．而单位时间捕捞量为常数h。
(1）分别就h＞rN/4，h＜rN/4，h=rN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况。
（2）如何获得最大持续产量？
2．与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz。模型：X(t)=rxlnN/X, 其中r和N的意义与Logistic模型相同。
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0。
3. 如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物．试建立种群依存模
型，并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。
4.如果两个种群都不能独立生存，但共处时可以相互提供食物，试建模以讨论共处的可能性。 5．在食饵一捕食者系统中，如果在食饵方程（1）中增加自身阻滞作用的Logistic项．方程（2）不变，讨论平衡点及稳定性，解释其意义。
6．如果食饵一捕食者系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵．而未成年的食饵因体积太小免遭捕获，在适当的假设下建立这三者之间关系的模型，求平衡点。
7.一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物。又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存，在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点。
8大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移，岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的喊少。在适当假设下建立岛上物种数的模型、并讨论稳定状态.
9．对于蛛网模型讨论下列问题：
（1）因力一个时段上市的商品不能立即售完．其数量也台影响到下一时段的价格；所以第k+1时段的价格yk?1由第k+1和第k时段的数量xk?1,xk决定。如果仍设xk?1；仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，井与7.1节的结果进行比较。 （2）若除了yk?1由xk?1,xk决定之外，xk?1也由前两个时段的价格yk,yk?1确定。试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。
10．在按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率为b1?0,b2?4,b3?3，存活率为s1?1/2,s2?1/4开始时3组各有1000只,求15年后各组分别有多少只，以及时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布．
11．在按年龄分组的种群增长模型基础上，建立种群的稳定收获模型．
(1)设年龄组区间、时段长度都正好等于种群的繁殖周期，种群的按年龄组分布、Leslie矩阵及增长规律用X(k?1)?LX(k)表示．如果时段k第i年龄组种群的增加量就是这个时段的收获量，表示为xi(k)?xi(k?1)?hi(k)xi(k)，i?1,2,...n,k?1,2,...其中hi(k)为收获系数．
所谓稳定收获是指，各个时段同一年龄组的收获量不变，即hi(k)和xi(k)(在收获之后)与k无关用H表示以hi为对角元素的对角阵，证明稳定收获模型可表为
LX?X?HLX,其中x是种群的按年龄组的稳定分布．
hi满足
(2)证明获得稳定收获的充要条件是:
(1?h1)[b1?b2s1(1?h2)?...?bns1s2...sn?1(1?h2)...(1?hn)]?1且X?cX*(c
?X*?[1,s1(1?h2),...,s1s2...sn?1(1?h2)...(1?hn)].
是大于零的数),其中
(3)利用第5题的数据至少给出H和x的两组解，并计算按年龄组稳定收获的分布．
12．讨论稳定收获模型的两个特例
(1)有些种群最年幼的级别具有较大的经济价值，所以饲养者只收获这个年龄组的种群，于是h1?h,h2?...hn?0.给出这种情况下稳定收获的充要条件，并在第5题数据下求收获系数、种群的稳定分布和收获量控年龄组的稳定分布
(2)对于随机捕获的种群，区分年龄是困难的，不妨假定h1?...hn?h讨论与(1)同样的问题.
第四部分练习
1．对于n阶成对比较阵
A?(aij)设
aij?wi?ij,?ij?1??ijwj，其中w?(w1,w2,..wn)是对应
2?于最大特征根的特征向量,?ij表示aij在一致性附近的扰动.若?ij为方差?随机变量，证明一致性指标CI??2/2
2．用层次分析法解决一两个实际问题，例如： (1)学校评选优秀学生或优秀班级．试给出若干准则，构造层次结构模型.可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论．
(2)你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何作出决策． (3)为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型
(4)你的家乡筹备集资兴办一座小型饲养场，是养猪，还是养鸡、养鸭……
3．年察由野兔R和狐狸F组成的生态系统．在野兔的食物资源充足的情况下，其带符号的有向因如仓所示．
(1)解释图中+，—号的意义
(2)若初始时段野兔有一增量，且设v(0)?(10,10)计算v(1),v(2).
(3)证明该系统对所有简单冲量过程都是冲量和值稳定的，从生态意义上进行解释．
4．某甲(农民)有一块土地，若从事农业生产可收入l万元若将土地租给某乙(企业家)用于工业生产，可收入3万元，当旅店老板请企业家参与经营时，收入沾4万元，为促成最高收入的实现．试用Shapley值方法分配各人的所得．
5．理事会有五个常任理事和十个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少四个非常任理事赞成时方可通过．求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重.
6．奇数个席位的理事会由三派组成，仪案表决实行过半数通过方案．证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的．
I...?,2,1(7．设,)n和A?(x,y,...)分别是选民和候选人集合,(p1,p2,...pn)是I对A的—
次投票(为简单起见，不考虑两候选人等同的情况).选举结果p不是对A的—几
个排序，而只是决定一名优胜者(第一名)．现举出以下几种选举规则：
(1)
(p1,p2,...pn)中排在第一名最多的那位候选人为优胜者
(2)若多于或等于半数的选民将x徘在其它候选人之前则x是优胜者． (3)若多于或等于半数的选民将x排在第一位，则x是优胜者；若没有这样的x，就把排在第一位最多的两个候选人x，y进行比较，当多于或等于半数的选民将x徘在y前面时，x是优胜者.
(4)得分(Borda数)居第一位的为优胜者．
问这些规则都能确定优胜者吗?对于同一次投票这些规则决定的优胜者相同吗?你还能提出一些决定优胜者的选举规则吗?
8．某商店要订购一批商品零售，设购进价c1，售出价c2，订购费c0 (与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为c3 (与时间无关)．问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少为使这个平均利润为正值，需要对订购费加c0什么限制?