发布时间 : 星期二 文章利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）更新完毕开始阅读39f5df49b6360b4c2e3f5727a5e9856a56122607
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）
隔板法就是在n个元素间，插入?b?1?个板，把n个元素分成b组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？
解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在
311个位置中任取3个位置排上隔板，共有C11种排法。所以，把8个相同的球放入4个不同
3的盒子，有C11?165种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至
少1个名额，有多少种不同分法？
解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。分两步。第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。取6?1?5块相同隔板，连同4个相同名额排成
5一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有C9种排法。由
分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有
5C9?126种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n项展开式的项数。 例3、求?x1?x2??x5?展开式中共有多少项？
、x5的5个不同的
10 解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有x1、x2、盒子表示数x1、x2、
、x5，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有
xi?i?1，2，，5?的每个盒子得到的小球数ki?i?1，2，，5，ki?N?，记作xi的ki次方。这
样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。取5?1?4块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。由隔板法知，在14 利用隔板法巧解排列组合问题（共1页） 1
4个位置中任取4个位置排上隔板，有C14种排法。故?x1?x2??x5?的展开式中共有
104C14?1001项。
四、求n元一次方程组的非负整数解。
例4、求方程x1?x2?????x5?7的正整数解的个数。
解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有x1、x2、示均不能为0的正整数未知数x1、x2、
、x5的5个不同的盒子表
、x5。要得到方程x1?x2?????x5?7的正整数
解的个数，分两步。第一步：5个盒子每个盒子先分配1个小球，只有1种分法；第二步：将剩下的2个小球分配给5个盒子。取5?1?4块相同隔板，连同2个相同小球排成一排，
4共6个位置。由隔板法知，在6个位置中任取4个位置排上隔板，有C6种排法。由分步计4数原理知：共有C6种放法。我们把标有xi?i?1，2，，5?的每个盒子得到的小球数
2，，5，ki?N??，记作：xi?ki。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子ki?i?1，中的每一种放法，就对应着方程x1?x2?????x5?7的每一组解?k1，k2，，k5?。所以，
4方程x1?x2?????x5?7的正整数解共有C6?15个。
例3例4点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程x1?x2?????x5?7的非负（或正）整数解的个数的理论依据。
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