发布时间 : 星期一 文章19光的衍射习题思考题更新完毕开始阅读3a29f71d580216fc700afdd5
习题19
19-1．波长为546nm的平行光垂直照射在缝宽为0.437mm的单缝上，缝后有焦距为40cm的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。 解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离：
2?f2?546?10?9?0.42?x???1.0?10?3m。 ?3a0.437?10
19-2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为?的单色光的第三极亮纹与波长?'?630nm的单色光的第二级亮纹恰好重合，求此单色光的波长?。 解：单缝衍射的明纹公式为：asin??(2k?1)?， 2当?'?630nm时，k'?2，未知单色光的波长为?、k?3，重合时?角相同，所以有：
asin??(2?2?1)630nm?5?(2?3?1)，得：???630nm?450nm。 227
19-3．用波长?1?400nm和?2?700nm的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中?1的第k1级明纹中心位置恰与?2的第k2级暗纹中心位置重合。求满足条件最小的k1和k2。 解：由asin??(2k1?1)?12，asin??2k2?22，有：
2k1?12k2??27?， ?14∴4k1?2?7k2，即：k1?3，k2?2。
19-4．在通常的环境中，人眼的瞳孔直径为3mm。设人眼最敏感的光波长为??550nm，人眼最小分辨角为多大？如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm，人在多远处恰能分辨。
550?10?9?4?1.22??2.2?10rad 解：最小分辨角为：??1.22?3D3?10如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm，人在s远处恰能分辨，则利用：
l???2.2?10?4rad，当l?2mm时，s?9.1m。
s?
19-5．波长为500nm和520nm的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为0.002cm的光栅上，紧靠光栅后用焦距为2m的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线之间的距离。
解：两种波长的第三谱线的位置分别为x1、x2，
f1xfk?，x2?k?2，由光栅公式：dsin???k?，考虑到sin??tan??，有：x1? dfdf2所以：?x?x1?x2?k???3?20?10?9?6?10?3m。 ?5d2?10
19-6．波长600nm的单色光垂直照射在光栅上，第二级明条纹出现在sin??0.20处，第四级缺级。试求：
（1）光栅常数(a?b)；
（2）光栅上狭缝可能的最小宽度a；
（3）按上述选定的a、b值，在光屏上可能观察到的全部级数。
解：（1）由(a?b)sin??k?式，对应于sin??0.20处满足：
0.20(a?b)?2?600?10?9，得：(a?b)?6.0?10?6m；
（2）因第四级缺级，故此须同时满足：(a?b)sin??k?，asin??k??，
a?bk??1.5?10?6k?，取k??1，得光栅狭缝的最小宽度为1.5?10?6m； 4(a?b)sin??（3）由(a?b)sin??k?，k?，当??，对应k?kmax，
?2解得：a?∴kmax?a?b?6.0?10?6??10。 ?106000?10??因?4，?8缺级，所以在?90???90范围内实际呈现的全部级数为：
k?0，?1，?2，?3，?5，?6，?7，?9共15条明条纹(k??10在???90?处看不到)。
19-7．用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长?R在 0.63─0.76?m范围内，蓝谱线波长?B在0.43─0.49 ?m范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现． (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？
(2) 在什么角度下只有红谱线出现？
答案： （1） ??=55.9° （2）?1 = 11.9°，?3 = 38.4° 解： ∵a+b= (1 / 300) mm = 3.33 ?m (1) (a + b) sin??=k????????? ∴k?= (a + b) sin24.46°= 1.38 ?m ∵?R=0.63─0.76 ?m；?B＝0.43─0.49 ?m 对于红光，取k=2 , 则 ?R=0.69 ?m 对于蓝光，取k=3,??则 ?B=0.46??m 红光最大级次 kmax= (a + b) / ?R=4.8,
取kmax=4则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合．设重合处的衍射角为?? , 则
sin???4?R/?a?b??0.828
∴ ??=55.9°
(2) 红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现．
sin?1??R/?a?b??0.207 ?1 = 11.9°
sin?3?3?R/?a?b??0.621 ?3 = 38.4°
19-8．如能用一光栅在第一级光谱中分辨在波长间隔???0.18nm，发射中心波长为??656.3nm的红双线，则该光栅的总缝数至少为多少？ 解：根据光栅的分辨本领：
????kN?1，令k?1，有：
N?????1?653.3。 ?1?3646?1?3647（条）
0.18
19-9．已知天空中两颗星相对于望远镜的角宽度为4.84×10-6rad，它们发出的光波波长?=550nm。望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？ 解：由分辨本领表式：?R??1?1.22?d，
?550?10?9?1.22??0.139（m）∴d?1.22。 ?R4.84?10?6
19-10．一缝间距d?0.1mm，缝宽a?0.02mm的双缝，用波长??600nm的平行单色光垂直入射，双缝后放一焦距为f?2.0m的透镜，求：（1）单缝衍射中央亮条纹的宽度内有几条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，中央亮条纹的宽度内又有几条干涉主极大？ 解：（1）双缝干涉实际上是单缝衍射基础上的双光束干涉，单缝衍射两暗纹之间的宽度内，考察干涉的主极大，可以套用光栅的缺级条件。
a?b0.10mmka?bk'?k'?5k'，当k'?1时，有k?5， 有：k??a0.02mmk'a∴第五级为缺级，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有k?0，?1，?2，?3，?4共九条干涉主极
由
大条纹；
（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，则此时的a?b?0.05mm，
a?b0.05mmk'?k'?2.5k'，当k'?1时，有k?2.5， a0.02mm显然，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有k?0，?1，?2共五条干涉主极大条纹。
19-11．已知氯化钠晶体的晶面距离d?0.282nm，现用波长??0.154nm的X射线射向晶体表面，观察到第一级反射主极大，求X射线与晶体所成的掠射角。 解：由布拉格条件：2dsin??k?k?0，1，2?，取第一级k?1，有：
0.154nm?sin????0.2730，??0.276rad?15.84??15?50'。
2d2?0.282nm同理：k?
?19-12．一个平面透射光栅，当用光垂直入射时，能在30角的衍射方向上得到600nm的第二级主极大，并且第二级主极大能分辨???0.05nm的两条光谱线，但不能得到400nm的第三级主极大，求：（1）此光栅的透光部分的宽度a和不透光部分的宽度b；（2）此光栅的总缝数N。
(a?b)sin30?2?，解：（1）依题意，所以： 30角的衍射方向上得到600nm第二级主极大，
有：a?b?4?600nm?2.4?m
但不能得到400nm的第三级主极大，说明400nm的第三级条纹缺级，
??a?b?3， a所以：透光部分的宽度a?0.8?m，不透光部分的宽度b?1.6?m；
kN?1（2）根据瑞利判据：k??，有： （????）N?600nmN???6000（条）
k??2?0.05nm由缺级的定义可得：
19-13．波长400nm到750nm的白光垂直照射到某光栅上，在离光栅0.50m处的光屏上测得第一级彩带离中央明条纹中心最近的距离为4.0cm，求：（1）第一级彩带的宽度；（2）
第三级的哪些波长的光与第二级光谱的光相重合。 解：（1）衍射光栅中，由及sin??xk?知：x?f， fa?b4?10?7f??0.5?5?10?6m。 波长越小，则离中央明纹就越近，所以：a?b??2x14?10?7.5?10?7?2那么750nm的波长的第一级条纹位置在：x1'??0.5?7.5?10m?7.5cm， ?65?10∴第一级彩带的宽度：?x?x1'?x1?7.5cm?4cm?3.5cm；
（2）重合部分的光满足衍射角相等，设第二级的?2与第三级的?3重合，由公式：
(a?b)sin??k?，知2?2?3?3，即：?3?当?2?750nm时，?3?500nm， 当?3?400nm时，?2?600nm，
2?23，
∴第三级中有一部分和它将重合，对应的第三极波长为400?500nm的波。
19-14．用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光光谱（??590nm）。问：（1）光线垂直入射；（2）光线以入射角30入射时，最多能看到几级条纹？
?10?3解：（1）正入射时，光栅常数为：a?b??2?10?6m，而(a?b)sin??k?，
500a?b2?10?6有：k?sin??sin??3.39sin?， ?7?5.9?10∵sin??1，∴对应的级次k（取整数）只能取3， 最多能看到的条纹为7条：k?0，?1，?2，?3；
（2）斜入射时，利用(a?b)(sin??sin?)?k?，选择(a?b)(sin??sin?)?k?，
(a?b)11?将??30代入，有：k?(sin??)?3.39(sin??)
?225?当??90时，k?3.39??5.085，
21?当???90时，k?3.39?(?)??1.7，
2对应的级次（取整数）为5??1级， ∴能看7条条纹：k?5，，43，，21，，0?1。
﹣
19-15．用一束具有两种波长的平行光垂直入射在光栅上，?1=600 nm，?2=400 nm (1nm=109
m)，发现距中央明纹5 cm处?1光的第k级主极大和?2光的第(k+1)级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f=50 cm，试问：(1) 上述k=？(2) 光栅常数d=？
-答案：（1）2；（2）1.2 ×103 cm
解：(1) 由题意,?1的k级与?2的(k+1)级谱线相重合所以
d sin?1=k ?1，d sin?1= (k+1) ?2 ,或 k??1 = (k+1) ?2
k??2?1??2?2
(2) 因x / f很小， tg ?1≈sin??1≈x / f
-d= k?1 f / x=1.2 ×103 cm