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第一章 随机事件与概率
概率论是研究随机现象的数量规律的学科，本身具有丰富的内容及广泛的应用，是统计学理论的基础.随机事件和概率是概率论中最基本的两个概念.
§1.1 随机事件
一、 随机事件
在社会生活与日常生产活动中，带有偶然性的现象随处可见.例如：抛一枚骰子，落地时出现的点数；相同条件下生产出来的灯泡寿命?.
概率论中最经典的例子要数向上抛一枚硬币，结果可能是正面也可能是反面，事先无法确定.这些不同的偶然性现象，都有一个共同的特点：在基本条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，以至于人们在试验或观测前无法预料哪一种结果将会发生，这种现象称为随机现象.概率论研究的就是这种随机现象所包含的数量规律.
此外，在自然界和现实生活中，还有另类现象，在一定的条件下，能够明确预言其结果.例如：太阳必然从东方升起；水在冰点以下会结冰；任何一种生物总要经历生长、发育、衰老直至死亡等各个阶段等，这类现象称为确定性现象.
一般地，确定性现象与随机现象有本质的区别.但在概率论，为了处理的方便，把确定性现象作为随机现象的一个特例.
二、样本空间
对于随机现象，人们现在已认识到，大量的现象表面看无规律，出现哪一个结果无法预料，但当大量重复试验时，每个结果呈现某种规律性，这种规律性称为统计规律性.为了研究随机现象的统计规律性，必须对它们进行观测或试验.这里所说的试验必须满足下述条件：
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(1) 试验可以在相同条件下重复进行； (2) 试验前能确定所有可能的结果； (3) 试验之前不能确定哪一个结果将会出现.
称具有上述性质的试验为随机试验.简称试验.下面举出一些例子. 例1.1.1 投掷一枚硬币，观察正、反面出现的情况； 例1.1.2 检查某商店某柜台某天的营业额；
例1.1.3 观察某电话交换台在[0,t]内来到的电话呼叫数； 例1.1.4 测量一个工厂生产的灯泡寿命； 例1.1.5 向上抛一枚骰子，观察朝上一面的点数.
把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用?表示；全体样本点组成的集合称为样本空间，用? 表示.要认识一个随机试验，首先必须弄清楚它的所有可能结果.因此确定样本空间是研究随机现象的第一步.
续例1.1.1 ??{正面，反面}. 续例1.1.2 ??(0, ??).
续例1.1.3 在例1.1.3中，其结果显然为一非负整数.故??(0, 1, 2, ?}；
]； 续例1.1.4 若我们假定灯泡寿命不超过4000小时，则??[0, 4000续例1.1.5 ??{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}.若将六个面分别涂以红、黄、绿、蓝、白、黑六种颜色，则
??{红、黄、绿、蓝、白、黑}.
这两个样本空间虽然表面上完全不同，但本质上是一致的，它可以抽象地记为
??{?1, ?2, ?3, ?4, ?5, ?6}.
由以上例子可知，样本空间可以是数集，也可以不是数集；可以是有限集，也可以是无限集.
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三、 随机事件
对于随机现象，我们总关心的是随机试验中某一结果是否出现，或会出现什么结果.
例如, 在例1.1.5中，??{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}，则
“得到的点数为偶数”={2, 4, 6}. “得到的点数至少是3”?{ 3, 4, 5, 6}.
上述两个结果均由?的若干样本点构成；而“出现两点”，“出现5点”只包含单个样本点.
因此，称一个随机试验的样本空间的子集为随机事件.它是由若干个样本点组成的集合.称仅含一个样本点的随机事件为基本事件；称某个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的某个样本点出现.
由于随机事件是样本空间的子集，故?本身也可以当作一个事件，而在任何一次试验中总有?中的某一样本点出现，即?总会发生，所以?为必然事件；类似地，不包含样本点的空集?也可以作为一个事件，由于在任何一次试验中?总不发生，因此?是不可能事件.必然事件与不可能事件是随机事件的两种极端情形，它们均属确定性现象.
四、事件之间的关系及其运算
给定一个样本空间，显然可以定义不止一个随机事件，那么这些事件之间的关系如何?分析它们之间的关系有助于认识事物的本质，并且可以通过对简单事件规律的研究去了解较复杂事件的规律.
由于事件是用样本空间的子集来表示的，因此，事件的关系和运算也可以用集
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合之间的关系及运算来表示.
在下面的讨论中，均认为样本空间?已给定.A, B, C, ?,Ai(i?1, 2, ?)等表示?的一些事件.
(1) 包含关系 A?B(B?A)表示事件A发生则事件B必发生.此时，A的所有样本点都在B中，称A包含于B(B包含A).
例1.1.6 靶子由8个同心圆组成，半径分别为r1,r2,?,r8，且，则显然有r1?r2???r8，以Ak表示事件“命中点在半径为rk的圆内”
Ak?Ak?1.这是因为当rk?rk?1时，落在半径为rk圆内的点，必在半径为rk?1,rk?2,?的同心圆内.
(2) 相等关系 对事件A与事件B，若A?B且B?A，则称事件A与事件B相等.记为A?B.此时，事件A与B是相等关系，它们包含的样本点完全相同.
例如 A?{至少有一个次品}，B?{不全是正品}，有A?B. 这里可得到同一事件的不同表示.
(3) 并 A?B这是集合的一种运算.对事件来说，给定两个事件A与B，
A?B构成一个新的事件，表示“A、B至少有一个发生”.显然A?B发生是指
或者A发生或者B发生（这里包括二者都发生）.
例1.1.7 从通常的一副52张扑克牌中随机抽取一张.若考虑牌的花色，设A表示事件{取到K}，B表示事件{取到梅花}，则A?B?{取到梅花或K}(样本点“梅花K”在其中).
并的运算不难推广：
?Ai?1ni?A1?A2???An?{A1,A2,?,An中至少有一个发生}
对于可列无限个事件A1,A2,?,有
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