发布时间 : 星期三 文章1第一章 随机事件与概率更新完毕开始阅读3a3c81ff3968011ca30091de
?Ai?1?i?A1?A2???{A1,A2,?中至少有一个发生}
（4）交 A?B 简记AB，这也是一种运算.给定事件A和B，AB构成一个新事件，表示“A、B都发生”，它是由同时属于A与B的样本点组成的集合，称为A与B的交（积）.
例1.1.7中，AB?{取到梅花K}. 一般地，
?Ai?1ni?A1?A2???An?{A1,A2,?,An都发生}.
??Ai?1i?A1?A2???{A1,A2,? 都发生}.
显然
AB?A?A?B.
（5）互不相容（互斥）关系 若AB??，即在一次试验中，A与B不可能同时发生，则称事件A与B互不相容（互斥）.如果n个事件A1,A2,?,An两两互不相容，则称这n个事件互不相容.更进一步地，若可列个事件A1,A2,? 两两互不相容，则称A1,A2,?互不相容.
例1.1.8 取5件产品，设A?{最多2件次品}，B?{至少4件次品}，
C?{都是次品}，D?{都不是次品}，E?{至少有1件次品}
问上述事件中哪两个是互不相容的？
解 因为AB??,AC??,BD??,CD??,DE??,所以A与B,A与C,B与D,C与D,D与E是互不相容的
(6) 逆(对立事件) “事件A不发生”也是事件，称为A的逆（对立）事件，
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记为A，它是集合A关于?的余集.A是由所有不属于A的样本点组成的集合.A发生当且仅当A不发生.显然，A?A??，而且A与A是相互对立的.
续例1.1.8 A?{至少3件次品}， B?{最多3件次品}，
C?{至少有1件正品}， 且D?E， D?E??(D, E为对立事件).
(7) 差A?B.这也是一种运算.给定事件A和B，A?B表示“A发生且B不发生”这一事件.它是由属于事件A但不属于事件B的样本点组成的集合，称为事件A与B的差.显然
A?B?AB.
例1.1.7中， A?B?{取到K但不是梅花}?{红心K，方片K，黑桃K}. 从具体例子中，我们容易理解以上概念，而英国逻辑学家维恩(Venn) (1834—1888年)为我们提供了更直观的工具，他使用图示法来表示事件之间的各种关系.读者可利用图1.1.1来加深对上述概念的理解.
图1.1.1
由集合论的初步知识，我们就不难发现，事件之间的关系及运算与集合论之间
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的关系及运算是完全相似的.但在概率论中，很重要的一点是要学会用事件的语言来解释这些关系及运算，并学会用这些关系与运算来表示各种各样的事件.
事件的运算和集合的运算一样，也满足一系列的运算规律： （i）交换律：A?B?B?A, AB?BA；
（ii）结合律：(A?B)?C?A?(B?C), (AB)C?A(BC)；
（iii）分配律：(A?B)C?AC?BC, (A?B)?C?(A?C)?(B?C)； （iv）德莫根（De Morgan）定理：A?B?A?B, A?B?A?B. 德莫根定理可推广到任意多个事件的场合.
上述运算律不作严格证明，读者可结合前面例子，利用维恩图来直观地验证这些规律的正确性.
例1.1.9 设A, B, C为3个事件，一些事件的表示方法为:
a) A发生而B与C都不发生：ABC或A?B?C或A?(B?C)；
b)A与B都发生而C不发生：ABC或AB?C； c) 3个事件都发生：ABC；
d)3个事件恰好发生一个：ABC?ABC?ABC；
e) 3个事件恰好发生两个：ABC?ABC?ABC； f) 3个事件中至少发生一个：A?B?C
或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC.
例1.1.10 已知系统由元件A, B, C组成，连接方式如图1.1.2所示. 设A, B, C分别表示事件：元件A, B, C正常，则“系统正常”可表示为A?(B?C)；
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图1.1.2
由德莫根定理，“系统发生故障”可表示为：
A?(B?C)?A?(B?C).
§1.2 古典概型
对于随机现象，我们不仅要知道所有可能发生的结果，更主要的是要了解各种可能结果以多大的可能性发生，这是概率论的一个基本任务，也就是要计算各种随机事件发生的概率.
其实，概率一词早已为大多数人所熟悉：掷一枚均匀硬币，“出现正面”的概率为二分之一，这一结论人们能够接受.但是，它的确切含义是什么?是否掷100次硬币，正面必出现50次；又比如，若彩票的中奖律为千分之一，买1000张彩票一定会中奖吗?显然不是，那么又怎样来理解这里的二分之一、千分之一?.
在本节，我们首先讨论概率论中一类最简单的概率模型—古典概型.
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