发布时间 : 星期二 文章1第一章 随机事件与概率更新完毕开始阅读3a3c81ff3968011ca30091de
(iii) 在200毫升自来水中有一个大肠杆菌.今从中随机取出20毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率.
自然会认为（i），（ii），（iii）答案分别是
104020,,.事实上，在求这些1550000200概率时，利用了几何的方法，并假定了某种等可能性.
在这类问题中，首先试验的可能结果是某区域?内的一个点，这个区域可以是一维的，也可以是二维，三维的，甚至可以是n维的，并且，这时的样本空间或感兴趣的事件个数都是无限的；其次，等可能性的意义是：向一有限区域?内随机地投掷一点M，点M落在?的任一子区域g(??)内的可能性与g的长度（或面积，或体积）成正比，而与g的形状、位置无关.
设A?{点M落入g(??)内}， 我们规定：P(A)?m(A). m(?)其中 m(?)在一维（二维或三维）情形下，表示长度（面积或体积），这种模型称为几何概型.
例1.2.4 设O为线段AB的中点，在AB上任取一点M，求三条线段
AM, MB, AO构成三角形的概率.
解 设线段AB的长度为1，M点的坐标为x，则样本空间为
??{x0?x?1}.
如图1.3所示，
图1.3
线段AM, MB, AO的长度分别为x,1?x,意两条之和大于第三条.即
1，它们能构成三角形当且仅当任213
1?x?(1?x)??2?1?x??1?x?2??(1?x)?1?x?2?，整理得
13?x?. 44于是，事件“AM,MB,AO构成三角形”可表示成A?{x|13?x?}.故 44P(A)?A??0.5.
例1.2.5 两人约好7点到8点在某地集合，先到者等候对方20分钟，过时可离去.试求两人会面的概率.
y（分钟） 20
图1.2.2
x
解 如图1.2.2所示
设其中一人到达时间为x，另一人到达时间为y，样本空间为 ??{(x,y)0?x?60, 0?y?60}. 设A表示“两人会面”，则A?{(x,y) x?y?20} 显然，这是一个几何概率问题，所以
（分钟）
602?4025P(A)??.
960214
同时，还可以计算出“一人等待另一人至少20分钟” （图中两个三角形部分）的概率
4022P(A)?2?
360特别地，若B表示事件“两人同时到达”，即B?{(x,y)x?y}，则
P(B)?0?0. 260但经验告诉我们，两人同时到达是可能发生的，这说明：概率为0的事件不一定是不可能事件；相应地，概率为1的事件也不一定是必然事件.关于这点，后面我们将会有更深地体会.
§1.3 频率与概率
人们经过长期的实践发现，虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性.
首先，用事件的语言更严格地叙述这一概念：对于随机事件A，若在n次试验中出现了?次（事件A发生的频数），则称 fn(A)?出现的频率.
那么，频率与概率之间又有什么关系呢?
以最简单的掷硬币试验为例. 掷一枚均匀硬币，出现正面或反面的机会应该相等，即在大量试验中出现正面的频率，接近于0.5，且呈现一定的规律性. 为了验证这点，历史上曾有不少人做过这个试验， 结果见表1.3.1
表 1.3.1
?n为事件A在这n次试验中
实验者 n ? fn(A) 15
德?摩根 蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 这些试验的结果是很有启发性的.虽然事件在一次试验中可能发生也可能不发生，但在大量重复试验中，它出现的频率却非常稳定，而且次数越多，频率越接近于0.5.
虽然在一次试验或观察中某一个随机事件A是否发生是偶然的，但当试验次数
n很大时， 事件A出现的频率总在某个固定常数p附近摆动，而且一般来说，n越大，摆动的幅度越小，则称p为随机事件A的概率. 这一规律称为频率的稳定性，即前面讲的统计规律性.同时也给出了概率的统计定义.频率与概率的上述关系有时还提供了求某事件概率的一种方法，即当n足够大时，用它的频率来作为概率的近似值.
频率的稳定性说明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身固有的、不随人们意志而改变的一种客观属性，可以对它进行度量，这正是概率论得以建立的现实基础.从上述可见，频率和概率既有本质区别，又有十分密切的联系.
§1.4 概率的公理化定义与性质
一.概率的公理化定义
关于随机事件的概率问题，目前，只讨论了一种最简单的模型：古典概型和几
何概型，它们都是通过某种等可能性来定义概率的，而在一般情况下却没有这种等可能性，因此带有一定的局限性.尽管前面给出的概率的统计定义很一般且很直观，
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