发布时间 : 星期二 文章1第一章 随机事件与概率更新完毕开始阅读3a3c81ff3968011ca30091de
但它涉及到频率的稳定性，利用概率的统计定义来计算概率，要涉及到大量的重复试验，这是不现实的，而且频率是变化的，在这些波动的数值中，无法确定哪一个为概率值.于是产生了对一般随机现象明确定义概率的问题.
但无论是频率还是古典概率或几何概率都具有下列三条性质： (1) 非负性 对任何事件A,P(A)?0； (2) 规范性 P(?)?1；
(3) 可加性 当事件A,B互不相容：P(A?B)?P(A)?P(B).
对于可加性，不难用数学归纳法证明：任意有限个两两互不相容的事件
A1,A2?,An，有P(?Ai)??P(Ai)．而在几何概率中，还要求它对可列个两
i?1i?1nn两互不相容事件之和有可加性，即可列可加性．
于是以这些性质为基础，抽象出近代概率论的公理化定义．
概率的公理化定义 给定一个随机试验，?是它的样本空间，对于任意一个事件A，规定一个实数，记作P(A)．如果P(?)满足下列三条公理，那么就称P(A)为事件A的概率．
公理1 非负性：对于任意一个事件A，P(A)?0； 公理2 规范性：P(?)?1；
公理3 可列可加性： 当可列无限个事件A1,A2?,An,?两两互不相容时：
P(A1?A2??)?P(A1)?P(A2)??.
利用公理化定义可以导出概率的其它性质： 性质（i） P(?)?0.
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证明 令An??(n?1, 2, ?)，则由概率的可列可加性得
?An?1?n且AiAj??(i?j), i, j?1, 2, ?.??，
P(?)?P(?An)??P(An)??P(?).
n?1n?1n?1???由概率的非负性知,P(?)?0,故由上式知P(?)?0.
性质(ii) 有限可加性 若A1,A2,?,An两两互不相容，即AiAj??(i?j)，则
P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)??P(An). 这一性质的证明可以用数学归纳法，证明略. 性质(iii) 对任何事件A，有
P(A)?1?P(A).
证明 因为A?A??,AA??，可知 1?P(?)?P(A)?P(A)， 由此即得结论.此式虽然简单，却很有用.
例1.4.1 袋中有8个黑球和10个白球，大小、形状和重量都一样，从中任意地摸出4球，求至少有一个黑球的概率.
i8?iC8C10解法1 设Ai为“恰有i个黑球”，P(Ai)?，i?1,2,?8. 4C18A为“至少有一个黑球”，则
P(A)??P(Ai) （因A1,?A8两两互不相容）
i?18?95. 102解法2 设A为“摸出的4个球全是白球”， 则
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4C10957，所以，P(A)?1?P(A)?. P(A)?4?102C18102显然，解法2要简单得多，如果直接计算A的概率，须将它分解成A1,?A8的概率之和，计算量较大.由此可知，P(A),P(A)中只要知道了一个，另一个就很容易算得，对于这类问题，常用此法，后面还将有更好的应用.
性质（iv） 若A?B，则 P(A?B)?P(A)?P(B). 证明 因为A?B，有A?(A?B)?B，且(A?B)B??，故
P(A)?P(A?B)?P(B),
所以 P(A?B)?P(A)?P(B)
又由概率的非负性，可知P(A)?P(B)，反知不成立； 推论 任意事件A，有P(A)?1.
下面我们给出关于事件的并概率计算的一般公式：
性质（v）（加法公式） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB). 证明 因为A?B?A?(B?AB)，且A?(B?AB)??，所以
P(A?B)?P(A)?P(B?AB).
又AB?B，由性质（iv），P(B?AB)?P(B)?P(AB)，代入上式即得
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB).
加法公式还可以推广到多个事件的和上去.以任意三个事件A,B,C为例 ：
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC).
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灵活运用概率的性质有助于计算较复杂事件的概率，必须熟练掌握. 例1.4.2 设A,B为随机事件，P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,求P(A?B). 解 因为 P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)，只须求出P(AB)即可. 又P(A?B)?0.3， 联想到A?B?A?AB,A?AB，于是
P(A?B)?P(A)?P(AB)，P(AB)?0.7?0.3?0.4.
因此， P(A?B)?0.6.
例1.4.3 从0,1,2,?9十个数字中任选三个不同的数字，试求下列事件的概率: (1) A?“三个数字中不含0和5”； (2) B?“三个数字中不含0或5”；
解 设A1=“三个数字中不含0”； A2?“三个数字中不含5”. 则有
A?A1?A2,B?A1?A2，且可由古典概型直接计算得
33C9C877P(A1)?P(A2)?3?, P(A)?3? .
C1010C1015于是，由加法公式得
P(B)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?7774???10101515.
§1.5 条件概率与随机事件的独立性
一、 条件概率
在讨论事件的概率时，经常会遇到这样的情况，即已知某一事件B已发生，要
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