发布时间 : 星期三 文章1第一章 随机事件与概率更新完毕开始阅读3a3c81ff3968011ca30091de
求另一事件A发生的概率.
例1.5.1 100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，85个产品长度、重量都合格.令A?“产品长度合格”，B?“产品重量合格”，则
P(A)?939085,P(B)?,P(AB)?. 100100100现任取一个产品，若已知它重量合格即（B发生），则它长度合格（即A发生）
8585P(AB)的概率为 ，显然它与P(A)不等，这是两种情况下算出的?100?9090P(B)100概率，是在不同的样本空间进行的.因为后者是在多了一个“B发生”的条件下来计算A发生的概率，若设前者对应的样本空间为?，那么后者便是在“缩小”的样本空间?1?B?中计算的，我们把这样的概率称为在已知B发生的条件下，A发生的条件概率，记为P(AB).因此，当P(B)>0时，P(AB)?P(AB). P(B)由上式立刻得到 P(AB)?P(AB)P(B).
若P(A)>0，则P(AB)?P(A)P(BA)，这两个式子被称为概率的乘法定理. 例1.5.2 某地区一工商银行的贷款范围内有甲、乙两家同类企业，设一年内甲申请贷款的概率为0.15，乙申请贷款的概率为0.2。在甲不向银行申请贷款的条件下，乙申请贷款的概率为0.23，求在乙不向银行申请贷款的条件下，甲向银行申请贷款的概率.
解 记A?“一年内甲向银行申请贷款”，B?“一年内乙甲向银行申请贷款”，该题是求P(AB).由条件概率的计算公式，有
P(AB)?因为
P(AB)， P(B)21
P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)?P(A)P(BA)
?0.2?(1?0.15)?0.23?0.0045，
所以
P(AB)?P(A)?P(AB)?0.15?0.0045?0.1455，
故所求概率为
P(AB)?P(AB)0.1455. ?0.181875P(B)1?0.2另外，乘法定理可以推广到任意n个事件之交的情形：
P(A1A2?An)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?P(AnA1A2?An?1).
例1.5.3 一批产品共有100件，对其进行抽样检查，整批产品合格的条件是：在被抽检的4件产品中有5%的废品，求该批产品被拒收的概率.
解 记Ai?“被检查第i件是正品”（i?1,2,3,4），B?“整批产品合格”，该问题求P(B).
由题意知，整批产品合格的条件是被抽检的4件都是正品，故B?A1A2A3A4，由乘法定理得
P(B)?P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(A4A1A2A3)95949392 ?????0.812.100999897所以 P(B)?1?P(B)?0.188.
二、 随机事件的独立性
条件概率反映了某一事件的发生对另一事件是有影响的，一般来说，P(A)与
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P(AB)是不同的，但也有这样的情况，即某一事件A发生与否对另一事件B不会
产生任何影响，也就是说，事件A与事件B之间有着某种“独立性”.本节将介绍一个新的概念：事件的独立性.
例1.5.4 袋中装有a只黑球和b只白球，采用有放回摸球，求： (1) 在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸得黑球的概率； (2) 第二次摸得黑球的概率.
解 记A?“第一次摸得黑球”，B?“第二次摸得黑球”，则
abaa2P(A)?，P(AB)?，， P(AB)?a?b(a?b)2(a?b)2所以
(1) P(BA)?P(AB)a?.
P(A)a?ba2baa(2) P(B)?P(AB)?P(AB)?. ??(a?b)2(a?b)2a?b注意到这里P(BA)?P(B)，即事件A的发生，对事件B没有影响，这不是偶然的巧合，直观上看，也应该是这样.因为我们采用的是有放回的摸球，第二次摸球时袋中球的组成和第一次摸球时的完全相同.
定义1.5.1 对任意事件A，B，若P(A)>0，且 P(BA)?P(B)，则称事件A与事件B相互独立.
由定义，很容易得到下列结论:
定理1.5.1 若P(A)>0， P(B)>0，则事件A与事件B相互独立的充分必要条件是 P(AB)?P(A)P(B).
定理1.5.2 若四对事件A与B,A与B,A与B,A与B中有一对独立，则其
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余三对也独立
证明 由对称性，只要由A与B独立导出另外三对独立即可.由条件，有
P(AB)?P(A)P(B)，
因此
P(AB)?P(B?AB)?P(B)?P(AB) ?P(B)?P(A)P(B) ?P(B)(1?P(A)) ?P(B)P(A).
所以，A,B相互独立，由此又可导出A,B独立，又因为A?A，于是又有A,B相互独立.
在实际应用中，不是用定义来证明事件的相互独立性，往往是根据问题的具体情况按独立性的实际意义来加以判断.
独立性概念还可推广到多个事件上，首先定义三个事件A,B,C的相互独立性. 定义1.5.2 对事件A,B,C，若下列四个等式同时成立，那么称事件A,B,C相互独立.
P(AB)?P(A)P(B)， P(BC)?P(B)P(C)， P(AC)?P(A)P(C)， P(ABC)?P(A)P(B)P(c).
根据事件独立性的定义知，前三个等式成立，则A与B，B与C，C与A都相互独立，即A,B,C两两独立，然而，两两独立不能保证相互独立。
例1.5.5 口袋里装有4只球，其中一只是红球，一只是白球，一只是黑球，另一只球在球面的三个不同部分分别涂上红色、白色、黑色.从口袋中随机地取一
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