发布时间 : 星期一 文章1第一章 随机事件与概率更新完毕开始阅读3a3c81ff3968011ca30091de
P(A)??P(Bi)P(ABi)i?021366310????? 10211021102123 ?.70 ?例1.5.10中，若已知取到的是次品，想知道此次品出自何厂，需进一步求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少?
解 显然，这是一个条件概率问题，即要求P(BiA),i?1,2,3，利用条件概率的计算公式，不难得知:
P(B1A)?P(AB1)P(B1)P(AB1)?3P(A)?P(ABi)P(Bi)i?1
?同理可算得
0.02?0.15?0.24.0.0125P(B2A)?0.64， P(B3A)?0.12.
以上结果表明，这只次品极有可能是来自第2家工厂的.
定理1.6.2 设n个事件B1,?,Bn为样本空间?的一个划分，且
P(Bi)?0(i?1,2,?n)，则对任一个事件A，
P(BiA)?P(ABi)P(Bi) (i?1,2,?n),
j?P(AB)P(B)jj?1n这个公式称为贝叶斯公式.
贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着广泛的应用.通常P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生可能性的大小，往往是根据以往经验，在试验前已
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确定.而条件概率P(BiA)称为后验概率，它反映了试验后对各种“原因”发生可能性大小的新见解.利用贝叶斯公式可以由“结果”A的发生来分析导致这一结果的各种“原因”Bi发生的可能性大小，即已知“结果”找“原因”.
例1.6.3 一位具有症状S的病人前来医院就诊，他可能患有疾病d1,d2,d3,d4中的一种根据历史资料，该地区患疾病d1,d2,d3,d4的概率分别为又由以往的病历记录知道，当病人患有疾病d1,d2,d3,d4时，0.42,0.20,0.26,0.12，
出现症状S的概率分别为0.90,0.72,0.54,0.30，问：该病人患d3疾病的概率是多少？
解 设A?“患者出现症状S”， Bi?“病人患有di种疾病”，i?1,2,3,4 则
P(B1)?0.42, P(B2)?0.20, P(B3)?0.26, P(B4)?0.12
P(AB1)?0.90, P(AB2)?0.72, P(AB3)?0.54, P(AB4)?0.30.
所以由贝叶斯公式得
P(B3A)?P(B3)P(AB3)?P(B)P(AB)iii?14
?0.26?0.54 0.42?0.90?0.20?0.72?0.26?0.54?0.12?0.30 ?0.2010.
同时，我们还可以计算出当病人出现症状S时患有疾病d1,d2,d4的概率，从而合理地判断病人该患哪一种疾病.
例1.6.4 设甲，乙，丙三导弹向同一敌机射击，甲，乙，丙击中敌机的概率分别为0.4,0.5,0.7.如只有一弹击中，飞机坠毁的概率为0.2；如而弹击中，飞机
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坠毁的概率为0.6；如三弹击中，飞机坠毁的概率为0.9. (1) 求飞机坠毁的概率；
(2) 如已知飞机坠毁，求是二弹击中的概率.
解 设Bi?“恰有i弹击中飞机”(i?0,1,2,3)，A?“飞机坠毁”，由于甲，乙，丙三弹是否击中飞机是相互独立的，则
P(B0)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09，
P(B1)?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)?0.7?0.36，
P(B2)?0.4?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?0.7?0.4?(1?0.5)?0.7?0.41，
P(B3)?0.4?0.5?0.7?0.14，
由条件，有
P(AB0)?0， P(AB1)?0.2， P(AB2)?0.6， P(AB3)?0.9.
(1) 由题意有
P(A)??P(Bi)P(ABi)
i?03 ?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?0.9
?0.444.
(2) 由贝叶斯公式推得
P(B2A)?P(B2)P(AB2)P(A)?0.41?0.6?0.554
0.444这是独立性、全概率公式、贝叶斯公式的综合应用.
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习 题
1.1 写出下列随机试验的样本空间，并用样本点组成的集合表示给出的随机事件.
(1) 在1,2,3,4四个数字中可重复地取出两个数.
A?“一个数是另一个数的两倍” B?“两个数互素”
(2) 甲，乙两人下一盘棋，观察棋赛的结果.
A?“甲不输”； B?“没有人输”.
(3) 在单位圆内任取一点P，记录它的坐标.
A?“以P为中点的弦长超过1”
(4) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出两个次品就停止检查，或检查4个产品就停止，记录检查的结果.
A?“检查了4个产品”.
1.2 设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件 (1) A发生，B与C都不发生. (2) A与B都发生，而C不发生. (3) A,B,C都发生.
(4) A,B,C中至少有一个发生. (5) A,B,C都不发生
(6) A,B,C中至多有一个发生. (7) A,B,C中至多有两个发生. (8) A,B,C中至少有两个发生.
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