发布时间 : 星期六 文章高中数学北师大版选修2-2第1章 4(二)更新完毕开始阅读3a90cb80152ded630b1c59eef8c75fbfc77d9492
§4 数学归纳法(二)
一、基础过关
?n＋3??n＋4?
1． 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，验证n＝1时，左
2
边应取的项是 A．1
( )
B．1＋2 D．1＋2＋3＋4
C．1＋2＋3
2． 用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0
应取
( )
A．2 C．5
B．3 D．6
111n
3． 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是
23n2
A．2k－1项 C．2k项
B．2k＋1项 D．以上都不对
4． 用数学归纳法证明不等式
11111
＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k
2n24n＋1n＋2
( )
＋1时，下列说法正确的是 1
A．增加了一项 2?k＋1?11
B．增加了两项和
2k＋12?k＋1?
1
C．增加了B中的两项，但又减少了一项 k＋11
D．增加了A中的一项，但又减少了一项
k＋1
5． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4
后，可猜想Sn的表达式为________________． 二、能力提升
6． 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋
1时的情况，只需展开 A．(k＋3)3
( )
B．(k＋2)3
第1页/共5页
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
( )
7． k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为
A．f(k)＋k－1 C．f(k)＋k
B．f(k)＋k＋1 D．f(k)＋k－2
8． 对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋
1，不等式成立．
②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，?k＋1?2＋?k＋1?＝k2＋3k＋2 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 11111 9． 用数学归纳法证明2＋2＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k 23?n＋1?22n＋2 ＋1时，应推证的目标不等式是_______． 10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)． 1115 11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)． 3n6n＋1n＋2 21 12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3， 3Sn S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明． 三、探究与拓展 13．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论． ( ) 第2页/共5页 答案 2n 1．D 2.C 3.C 4.C 5.Sn＝ 6．A 7.A 8.D n＋19. 1111111＋2＋…＋2＋＋>－ 22223k?k＋1??k＋2?2k＋3 10．证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立． 11115 11．证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立． 34566 (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立， 即 1115＋＋…＋>. 3k6k＋1k＋2 则当n＝k＋1时， 1111111111 ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋( 3k3k＋13k＋23?k＋1?k＋1k＋23k3k＋1?k＋1?＋1?k＋1?＋2＋ 111511115115 ＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝， 3k＋23k＋3k＋163k＋13k＋23k＋3k＋163k＋3k＋16 所以当n＝k＋1时不等式也成立． 由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立． 1 12．解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2. Sn 1 ∴Sn＝－(n≥2)． Sn－1＋22 则有：S1＝a1＝－， 313 S2＝－＝－， 4S1＋214 S3＝－＝－， 5S2＋2 第3页/共5页 15 S4＝－＝－， 6S3＋2 n＋1 由此猜想：Sn＝－(n∈N*)． n＋2用数学归纳法证明： 2 (1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立． 3(2)假设n＝k(k∈N*)时猜想成立， k＋1 即Sk＝－成立， k＋2那么当n＝k＋1时， 11 Sk＋1＝－＝－ Sk＋2k＋1 －＋2k＋2k＋2?k＋1?＋1＝－＝－. k＋3?k＋1?＋2即n＝k＋1时猜想成立． 由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立． 13．证明 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立． 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4， 右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4， 所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10， 右边＝32＝9，所以左边>右边． (2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时， 第4页/共5页