发布时间 : 星期四 文章理论力学教案 - 图文更新完毕开始阅读3ae0bddca0c7aa00b52acfc789eb172ded6399e2
刚体绕定轴的转动微分方程 1．转动惯量 2．刚体定轴转动微分方程式 定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于外力对该轴之矩的代数和。即 刚体对轴的转动惯量 1．刚体对转轴的转动惯量 2．平等轴定理 3．回转半径 质点系相对于质心的动量矩定理 1．相对质心的动量矩 以质点系质心C为坐标原点的平动坐标系为动系，则各质点质量与相对速度之乘积对质心相对于质心之矩的矢量和称为相对于质心的动量矩。 2．相对于质心的动量矩定理 质点第相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对质心之矩的矢量和。 刚体作平面运动时，相对于质心的动量矩定理为 当速度瞬心P以质心C的距离保持不变时，也可取速度瞬心为矩心建立动量矩方程，即 3．相对于质心动量矩守恒定理 当外力对质点系质心之矩矢量和为零时，质点系对质尺度的动量矩为常矢量。 刚体的平面运动微分方程 1．平面运动刚体（具有质量对称面）对质心的动量矩 平面运动刚体（具有质量对称面）对质心的动量矩为刚体对质心的转动惯量与平面图形角速度的乘积： 2．刚体平面运动微分方程 将质心运动定理与相对于质心的动量矩定理的相结合，就得到刚体平面运动微分方程式 基本要求： 1．全面理解动量矩和转动惯量的物理意义。 2．掌握动量矩定理的各种表达式、意义及其应用。 3．熟悉刚体绕定轴转动及刚体平面运动的微分方程，并能用它们解决相应的实际问题。
4．了解质心点相对质心（平移坐标）的动量矩定理。 5．熟练应用刚体平面运动微分方程求解动力学问题。 重点难点分析 重点： 1．质点系的动量矩和转动惯量。 2．质点系相对定点的动量矩定理（包括守恒式）。 3．定轴转动微分方程应用。 4．刚体平面运动微分方程及其应用。 对点的动量矩是矢量，对轴的动量矩是代数量。计算质点系相对于质心的动量矩阵收缩时，无论是用绝对运动的动量还是用相对于以质心为基点的平移坐标系的相对运动的动量，其计算结果是相同的。但是对质心之外的其他的点，用此两种方法计算的动量矩阵收缩是不同的，必须用在绝对运动中的动量来计算动量矩； 平行移轴公式中必须是与轴平行的质心轴。 难点： 1．质点系相对质心的动量矩定理； 2．平面运动微分方程及其应用； 内力不能改变质点系对定点或对质心的动量矩，只有外力矩才能使之改变。 动量矩定理仅仅对定点（或定轴）及质心（或质心轴）成立，在满足一定条件时对速度瞬心成立。对一般的动点或动轴通常是不成立的，在应用动量矩定理时一定要注意这一点。 解题指导 1．动量矩定理常见题目类型： （1）求约束反力偶问题； （2）突然解除约束问题； （3）已知主动力求运动问题； （4）综合动力学问题。 2．解题步骤 （1）根据题意确定研究对象。对于多轴系统，必须拆开来取单轴为研究对象。 （2）受力分析。只画外力，不分析内力。还要根据受力特点判断是否是动量矩守恒问题。 （3）运动分析，建立必要的运动学关系。 （4）建立坐标系，规定外力矩和动量矩的正转向，且须使外力与动量矩正的转向一致。 （5）计算动量矩。动量矩的矩轴或矩心一般是固定轴或固定点。速度和角速度都是绝对速度和绝对角速度。对于相对于质心的动量矩，矩心是质心，速度或角速度是相结于质心的速度或角速度。
（6）建立动量矩方程（或守恒方程）并求解。 3．注意的问题 （1）动量矩定理从另一个侧面描述机械运动规律，即动量矩对时间的变化率等于外力矩。对于有心力作用问题和定轴转动的动力学问题，用动量矩定理求解特别有效。 （2）动量定理描述了质点系随质心的运动规律；对刚体而言，即随质心的平动规律。相对于质心的动量矩定理，描述了质点系相对于质心的运动规律。对刚体而言，即描述了绕质心的转动规律，二者结合，则描述了质心系的总的运动规律。 （3）动量矩定理建立了外力（外力矩）、时间、质量和速度（角速度）之间的关系。常应用对轴的动量矩定理或转动微分方程解决下面几种问题： 已知质点系的运动求作用于质点系得外力或外力矩，特别是对轴有矩的约束反力； 已知外力矩是常数或只是时间的函数时，求刚体转动的角加速度、角速度、转动方程； 已知外力矩等于零或外力对轴之矩代数和对于零时，应用动量矩守恒定理求运动。 （4）正确计算定轴转动刚体动量矩的关键是正确计算转动惯量。应该牢记均质细长杆、均质圆柱体和均质圆环转动惯量公式：对于其他有关规则的物体的转动惯量，可看成由几个几何规则的部分组成，根据组合法求总的转动惯量，对有空心或缺口的物体，可用负质量法求转动惯量。 （5）计算转动惯量时，常用到平等轴定理。 （6）动量定理描述了质点系随质心的运动规律；对刚体而言，即随质心的平动规律。质点系相对质心（平移坐标）的动量矩定理，描述了质点系相对于质心的运动规律；对刚体而言，即描述了绕质心的转动规律。二者结合，则描述了质点系总的运动规律。 （7）对平面运动刚体，研究的对象是整个刚体，可利用平面运动微分方程求解。求解时，常常需要建立质心速度或加速度与绕质心转动的角速度或角加速度之间的关系。 四、动能定理（重要） 普遍定理的综合应用 1．动力学普遍定理 2．应用原则及方法 （1）通过受力分析，首先判断是否是某种运动守恒问题：如动量守恒、质心运动守恒、动量矩或相对于质心的动量矩守恒及机械能守恒等。若是守恒问题，可根据相应的守恒定律求未知的运动。 （2）求约束反力的问题，可选用动量定理、质心运动定理、动量矩定理或相对于质心的动量矩定理，但不能用动能定理直接求约束反力。 （3）当作用力（力矩）是时间的函数时，应优先考虑用动量定理或动量矩定理求速度（角速度）和时间；当作用力是路程的函
数或力的功容易计算时，优先考虑用动能定理。 （4）若等求量是加速度或角加速度时，对质点系可用动量定理、质心运动定理；对定轴转动刚体，可用动量矩定理或定轴转动微分方程；对平面运动刚体，常用平面运动微分方程；对以上各种物体运动及由两个转轴以上物体组成的系统，也常用微分形式的动能定理或功率方程形式的动能定理。 （5）一般求解一个单自由度的综合性题目，比较简单的方法是先用动能定理求运动，再用其他定理求力。 （6）研究对象的选取：若不需要求质点系内力，则一般选整个系统为研究对象；对于两个转轴以上的系统，若用动量矩定理或定轴转动微分方程时，必须取单个轴为研究对象；对单自由度系统用动能定理时，常取整个系统为研究对象。 （7）补充方程；用动力学普遍定理列出的方程，其未知量个数常多于独立的方程式数，需要列运动补充方程或力的补充方程。 基本要求： 1．深刻理解力的功和质点系的动能等概念。 2．熟练掌握重力、弹性力、摩擦力、力偶等所作功的计算。 3．熟练掌握刚体作平移、定轴转动和平面运动时动能的计算方法。 4．熟悉在何种约束下，约束反力作功之和等于零。 5．能正确而熟练地应用动能定理和机械能守恒求解动力学问题。 6．对每个定理中所涉及的基本物理量要有清晰的理解，并能正确和熟练地进行计算。 7．掌握各定理的内容、特点、适用条件及所能解决的问题；要正确而灵活地应用各定理求解动力学问题。 重点难点分析 重点 1．力的功和动能的计算。 2．质点系的动能定理及其应用。 关于刚体平面运动问题力系的功的计算方法也适用于刚体的任意运动。当C点不是质心时，公式也成立，即力系在刚体平面运动中的功等于力系向任一点简化的主矢在该点位移上的功与主矩在绕该点转动中所作功之和。不过通常用质心计算很方便。另外，在计算力系的主矢和主矩时，可以不计算不作功的力。当然，无论刚体作平面运动还是作任意运动，都可以单独计算各力的功，然后求其代数和即得整个力系的功。 利用动能定理的积分形式一般可以求出速度、角速度。如果所列出的动能定理的积分形式是函数关系式，则可以将其两端对时间求导，从而可求得加速度、角加速度，这是一种常用的方法。 难点： 综合应用动力学普遍定理求平面机构的动力学问题。 对具体问题，选用合适的定理，使求解过程尽可能简单。