发布时间 : 星期三 文章一轮复习： 一元二次不等式及其解法更新完毕开始阅读3b15fd914793daef5ef7ba0d4a7302768f996f70
一轮复习： 一元二次不等式及其解法
[最新考纲]
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
知 识 梳 理
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝b－2a ?b??x|x≠－? 2a??Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 没有实数根 {x|x＞x2或x＜x1} R {x|x1＜x＜x2} 辨 析 感 悟 ? ? 1．对一元二次不等式的解法的理解
(1)(2013·广东卷改编)不等式x2＋x－2＜0的解集为－2＜x＜1.(×)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(√)
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(×)
2．对一元二次不等式恒成立问题的认识
(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×) 1
(6)若关于x的不等式ax＋x－1≤0的解集为R，则a≤－4.(√)
2
1?5?
(7)若不等式x2＋ax＋1≥0对x∈?0，2?恒成立，则a的最小值为－2.(√)
??[感悟·提升]
三个防范 一是当Δ＜0时，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别，如(4)中当a＞0时，解集为R；当a＜0时，解集为?.
二是对于不等式ax2＋bx＋c＞0求解时不要忘记讨论a＝0时的情形，如(5)中当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0在R上也是恒成立的．
三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨
论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏.
考点一 一元二次不等式的解法
【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是
( )．
3??1??
－∞，－，＋∞??? A.?∪2??2??
?31?B.?－2，2? ??
1??3??C.?－∞，－2?∪?2，＋∞? ?????13?D.?－2，2? ??
解析 由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1,3)，∴a＜0.且1－ab??a＝2，?b?－?a＝－3，
1
解得a＝－1或3，
∴a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3， ∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0， 13
解得x＞2或x＜－2，故选A. 答案 A
规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
学生用书第97页 【训练1】 (2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________． 解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，
又当x＜0时，－x＞0， ∴f(－x)＝x2＋4x. 又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，
?
∴f(x)＝?0，x＝0，
??－x2－4x，x＜0.
2x?－4x，x＞0，
(1)当x＞0时，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5； (2)当x＝0时，f(x)＞x无解；
(3)当x＜0时，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0. 综上得不等式f(x)＞x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
考点二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 (2013·烟台期末)解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
2?2?②当a＞0时，原不等式化为?x－a?(x＋1)≥0，解得x≥a或x≤－1.
???2?③当a＜0时，原不等式化为?x－a?(x＋1)≤0.
??22
当a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤a； 2
当a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 22
当＜－1，即a＞－2，解得≤x≤－1. aa
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集
???2
为?x?x≥a，或x≤－1???
??
?；当－2＜a＜0?????2
时，不等式的解集为?x?a≤x≤－1
???
??
?；当??
a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，不等式的解集为
???2
?x?－1≤x≤
a???
???. ??
规律方法 解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据