发布时间 : 星期六 文章9-8第8讲人教版高中数学选修2 曲线与方程习题有答案更新完毕开始阅读3b3d435202d8ce2f0066f5335a8102d277a26155
第8讲 曲线与方程
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是________． ??2x＋3y－1＝0，
解析 原方程可化为?或
??x－3≥0
x－3－1＝0，即2x＋3y－1＝
0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线． 答案 一条直线和一条射线
y2
2．(2017·衡水模拟)若方程x＋a＝1(a是常数)，给出下列结论：
2
①任意实数a方程表示椭圆； ②存在实数a方程表示椭圆； ③任意实数a方程表示双曲线； ④存在实数a方程表示抛物线． 其中正确的是________(填序号)．
解析 当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故②正确． 答案 ②
3．(2017·泰州期末)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为________．
解析 ∵M为AQ的垂直平分线上一点，则AM＝MQ，∴MC＋MA＝MC＋MQ
5
＝CQ＝5>AC＝2，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆．∴a＝2，∴c＝214x24y2
1，则b＝a－c＝4，∴M的轨迹方程为25＋21＝1.
2
2
2
4x24y2
答案 25＋21＝1
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_________． 解析 设P(x，y)，由PA＝2PB， 得?x＋2?2＋y2＝2
?x－1?2＋y2，
∴3x2＋3y2－12x＝0， 即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆． 即轨迹所包围的面积等于4π. 答案 4π
5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且PA＝1，则点P的轨迹方程是________．
解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且MA＝1，
又∵PA＝1， ∴PM＝
MA2＋PA2＝2，
即PM2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2. 答案 (x－1)2＋y2＝2
6．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点
→→P的轨迹方程为________．
解析 设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，
→→?∴? y＋y
?2＝0，
x＋x1
2＝1，
1
??x1＝2－x，即? ??y1＝－y.
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上， ∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x. 答案 y＝2x
7．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是________． 解析 设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，??x＝3λ1－λ2，
即? ??y＝λ1＋3λ2，
→→→→→→
?解得?3y－x
?λ＝10，2
y＋3xλ1＝10，
又λ1＋λ2＝1，
y＋3x3y－x
所以10＋10＝1， 即x＋2y＝5 ，
所以点C的轨迹为直线． 答案 直线
8．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．
→→→解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．
则BE＝BD，CD＝CF，AE＝AF. ∴AB－AC＝22＜BC＝4，
∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝2，c＝2，∴b＝x2y2
2，∴轨迹方程为2－2＝1(x＞2)． x2y2
答案 2－2＝1(x＞2) 二、解答题
9．(2017·苏北四市期末)已知点C(1,0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足AC·BC＝0，设P为弦AB的中点．
→→
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)连接CP，OP，由AC·BC＝0，知AC⊥BC， 1
∴CP＝AP＝BP＝2AB， 由垂径定理知OP2＋AP2＝OA2， 即OP2＋CP2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9， 化简，得x2－x＋y2＝4.
→→