发布时间 : 星期三 文章15.7循环码解析更新完毕开始阅读3b70da594b7302768e9951e79b89680203d86b8a
式中，Q(x)为xA(x)除以x+1的商式，而xA(x)等于A(x)被x+1除得之余式。
1.2.4 (n,k)循环码的生成多项式与生成矩阵
(n,k)循环码的生成多项式写为g(x),它是(n,k)循环码码集中唯一的，幂次为n-k的码多项式，则xkg(x)是一个幂次为n的码多项式。按模(xn?1)运算，此时：
xg k ( x ) R ( x ) (2—2)
n?Q(x)?nini(i)n
即 xkg(x)?R(x) （2—3） 且因x g(x)也是n阶幂，故Q(x)=1。由于它是循环码，故xkg(x)按模(xn?1)运算后的“余式”也是循环码的一个码字，它必能被g(x)整除，即：
R(x) ? F ( x ) （2—4） g(x)由以上两式可以得到：
xkg(x)?Q(x)(xn?1)?R(x)?(xn?1)?f(x)g(x) （2—5） 和 xn?1?xk?f(x)g(x)?h(x)g(x) （2—6） 从上式中可以看出，生成多项式g(x)应该是xn?1的一个因式，即循环码多项式应该是xn?1的一个n-k次因式。
根据各码组集合中生成多项式的唯一性，可以构造生成矩阵G。由于g(x)的次数为n-k，则g(x),xg(x),…,xk-1g(x)都是码多项式，而且线性无关，因此以这k各多项式对应的码组作为k行就能构成该循环码的生成矩阵，因此循环码的生成矩阵多项式可以写成
k??
?xk?1g(x)???...??G(x)?...??.??xg(x)??g(x)???(3-12)
本课程设计要求完成任意（15,7）循环码的编码和译码，其中给出的生成多项式为：g(x)=x8+x7+x6+x4+1
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则生成矩阵G为g(x)升幂排列时的G为
?1??0?0?G??0?0??0?0?11010001000000??11101000100000?01110100010000??00111010001000?00011101000100??00001110100010? （1.1.12） 00000111010001??对式（1.1.12）作线性变换，整理成典型形式的系统生成矩阵
?1??0?0?Gs??0?0??0?0?00000011101000??10000001110100?01000000111010??00100000011101?00010011100110??00001001110011? （1.1.13） 00000111010001??若信息码元与式（1.1.13）相乘，得到的就是系统循环码。 1.2.5 (n,k)循环码的校验多项式与一致校验矩阵
如前所述，在（n，k）循环码中，由于g(x)能除尽,因此xn+1可分解成g(x)和其他因式的乘积，记为
xn +1=g(x)h(x) (3-16) 即可写成
h(x)= xn +1/g(x) (3-17) 由于g(x)是常数项为1的r次多项式，所以h(x)必为k次多项式。称h(x)
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为监督多项式或一致校验多项式，与式（3.18）给出的G(x)相对应，监督矩阵多项式可表示为
?xr?1h*(x)????...??H(x)??...?*??xh(x)??*?h(x)??式中，h*(x)式h(x)的逆多项式。
(3-18)
在本课程设计中，由于生成多项式为：g(x)=x8+x7+x6+x4+1，校验多项式为 h(x)= xn +1/g(x)，因此可由长除法求得校验多项式为h(x)=x7+x6+x4+1，所以校验矩阵H为
?110100010000000? ??011010001000000??
?001101000100000? ??000110100010000??H? ?000011010001000? ???000001101000100?(3-19) ?000000110100010? ? ?
??000000011010001??
对式（3-19）作线性变换，整理成典型形式的系统生成矩阵
?0001011000000 0 ?1001110100000 0?
11011000100000? ?11101100010000?
01100000001000? ?10110000000100?(3-20 ) ?01011000000010?00101108 0000001??
?1??1?1?0?Hs??1??0?0???0
1.3 循环码编码原理
有信息码构成信息多项式m(x)?mk?1xk?1???m0，其中最高幂次为k-1； 用xn?k乘以信息多项式m(x)，得到的xn?km(x)，最高幂次为n-1，该过程相当于把信息码（mk?1，mk?2，……，m1，m0）移位到了码字德前k个信息位，其后是r个全为零的监督位；
用g(x)除xn?km(x)得到余式r(x),其次数必小于g(x)的次数，即小于（n-k），将此r(x)加于信息位后做监督位，即将r(x)于xn?km(x)相加，得到的多项式必为一码多项式。
循环码的编译码过程如下： 编码过程
mx第一步：将信息码字表示为??，其最高次幂为k?1；
xn?km?x?g?x?rx第二步：将与求模得出相应的余式??；
c?x??xn?km?x??r?x?第三步：编码结果为。
1.4循环码的最小码距
一个线性码的两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小汉明重量。
由生成矩阵可得本课程设计中（15,7）循环码的最小码距为5。
1.5循环码的纠检错能力
由于循环码是一种线性分组码，所以其纠检错能力与线性分组码相当。而线性分组码的最小距离可用来衡量码的抗干扰能力，那么一个码的最小距离就与它的纠检错能力有关。
定理： 对于任一个(n,k)线性分组码，若要在码字内
（1） 检测个错误，要求码的最小距离d?e?1；
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