发布时间 : 星期日 文章几个常用函数的导数(老师版)更新完毕开始阅读3b79222f814d2b160b4e767f5acfa1c7aa008293
1.设直线y＝1
2x＋b－1是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A.1－ln 2 B.1
2ln 2 C.ln 2 D.2
答案 C
解析 设切点为(x0，y0)，根据导数几何意义，得 12＝y′|1x?x0＝x， 0
解得x0＝2，代入曲线方程得y0＝ln 2.故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得 ln 2＝1
2
×2＋b－1，解得b＝ln 2，故选C.
2.过曲线y＝1
x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )
A.?1?2，2?? B.?1?2，2??或?1?－2，－2?? C.?1
?－2，－2?? D.?1?2，－2??
答案 B
解析 y′＝?1?x??′＝－11x2＝－4，x＝±2，故选B. 3.已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( ) A.4 B.－4 C.5 D.－5 答案 A
解析 ∵f′(x)＝axa－
1，f′(－1)＝a(－1)a－
1＝－4，
∴a＝4.
4.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x3?3，3?和点?－30，y0)，则3x20＝1，得x0＝±3，即在点?39??3，－的切线.所以有2条切线.
5.已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( ) A.1e B.－1e
C.－e D.e 答案 D
?解析 y′＝ex，设切点为(x?
y0＝kx0，0，y0)，则?y0＝ex0，
??k＝ex0.
∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
6.已知f(x)＝2x，g(x)＝ln x，则方程f(x)＋1＝g′(x)的解为( )
39??处有斜率为1
11
A.1 B. C.－1或 D.－1
22答案 B
11
解析 由g(x)＝ln x，得x＞0，且g′(x)＝.故2x＋1＝，
xx1
即2x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝－1.
21
又因x＞0，故x＝(x＝－1舍去)，选B.
2
1
7.某质点的运动方程为s＝4(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为( )
tA.－4×3C.－5×3
－4
米/秒 米/秒
B.－3×3
－4－5
米/秒 米/秒
－5
D.－4×3
答案 D
1?1－4－5－5
4′＝(t)′＝－4t.得s′|t＝3＝－4×3，故选D. 解析 由s＝4得s′＝??t?t二、填空题
9
8.曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是.
x答案 x＋y－6＝0
9
解析 ∵y′＝－2，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为
xy－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0. 9.若曲线y＝x答案 64 解析 ∵y＝x?12?1?21?22，∴y′＝－x，∴曲线在点(a，a)处的切线斜率k＝－a，
22?12313?12在点(a，a?12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝.
∴切线方程为y－a11?＝－a2 (x－a).
2
33?令x＝0得y＝a2；令y＝0得x＝3a.
2∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 13?9S＝·3a·a2＝a2＝18，∴a＝64. 224
10.点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为. 答案
2
2
11解析 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x?x0＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为三、解答题
11.求下列函数的导数： 1
(1) y＝5x3；(2)y＝4；
xxx
1－2cos2?； (3)y＝－2sin ?4?2?(4)y＝log2x2－log2x.
35?13?53??解 (1)y′＝?5x3?′＝(x)?＝x＝x＝ .
55
55x21?4－4－4－1－54′＝(x)′＝－4x(2)y′＝?＝－4x＝－. ?x?x5xxxxxx
1－2cos2?＝2sin ?2cos2－1?＝2sin cos ＝sin x， (3)∵y＝－2sin?4?4?2?2?22∴y′＝(sin x)′＝cos x.
1
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝.
xln 2
12.已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]， π
∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
2
13.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，?，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 017(x). 解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，?， fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4， ∴f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.
35322. 2