发布时间 : 星期三 文章2019届高考数学热点难点突破(三)攻克抽象函数的五类问题更新完毕开始阅读3bf8877e18e8b8f67c1cfad6195f312b3069eb42
数学试卷
抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感 觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函 数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周 期性．利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函 数问题的重要策略．下面从5个不同的方面来探 寻一些做题的规律．
1．抽象函数的定义域
抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解． f?x2－1?
[典例1] 已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为
2－log2?x＋1?________．
??
[解析] 要使函数有意义，需使?x＋1>0，
??2－log?x＋1?≠0，
2
0≤x2－1≤8，
??
即?x>－1，??x≠3，
1≤x2≤9，
则1≤x<3，所以函数的定义域为[1,3)．
[答案] [1,3)
[题后悟道] 函数y＝f(g(x))的定义域的求法， 常常通过换元设t＝g(x)，根据函数y＝f(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而解出x的范围．在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义．
2．抽象函数的函数值
[典例2] (文)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)＝( )
A．2
B．3
数学试卷
C．6 D．9
[解析] 令x＝y＝0，得f(0)＝0，令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)＋2＝6，由0＝f(2－2)＝f(2)＋f(－2)－8得f(－2)＝2.
[答案] A
[典例2] (理)已知定义在R上的单调函数f(x)满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立．
求：(1)f(1)＋f(0)； (2)x0的值．
[解] (1)因为对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立，令x1
＝1，x2＝0，得f(x0)＝f(x0)＋f(0)＋f(1)，所以f(0)＋f(1)＝0.
(2)令x1＝0，x2＝0，得f(0)＝f(x0)＋2f(0)，即f(x0)＝－f(0)．故f(x0)＝f(1)．又因为f(x)是单调函数，所以x0＝1.
[题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答．
3．抽象函数的奇偶性
函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．
[典例3] 已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．
[证明] 取x＝0，y＝0，得2f(0)＝2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1；再取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)．所以f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)是偶函数．
[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x，y取特殊值进行求解．
4．抽象函数的单调性与抽象不等式
高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．(结合本节例2(2)学习)．
5．抽象函数的周期性
有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出．
数学试卷
1
[典例4] 已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 014)
4＝________.
[解析] 取x＝n，y＝1，有f(n)＝f(n＋1)＋f(n－1)，同理f(n＋1)＝f(n＋2)＋f(n)， 联立，得f(n＋2)＝－f(n－1)，所以f(n＋3)＝－f(n)，f(n＋6)＝－f(n＋3)＝f(n)，所以函1
数的周期为T＝6，故f(2 014)＝f(4)＝－f(1)＝－.
4
1
[答案] － 4
[题后悟道] 判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性．
从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，把抽象问题形象化、具体化，问题就可以化难为易、迎刃而解．