发布时间 : 星期五 文章【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：选修4-5 第1讲 不等式、含有绝对值的不等式更新完毕开始阅读3c77dbde67ce0508763231126edb6f1aff007129
选修4-5 不等式选讲
第1讲 不等式、含有绝对值的不等式
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．不等式|2x－1|＜3的解集为________． 解析 |2x－1|＜3?－3＜2x－1＜3?－1＜x＜2. 答案 (－1,2)
2．不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为________． 解析 法一 原不等式即为|2x－1|＜|x－2|， ∴4x2－4x＋1＜x2－4x＋4，∴3x2＜3，∴－1＜x＜1. 法二 原不等式等价于不等式组
1??x≥2，＜x＜2，?2①?或②?
?2x－1－?x－2?＜0??2x－1＋?x－2?＜0
或
1??x≤，③?2??－?2x－1?＋?x－2?＜0.
11不等式组①无解，由②得2＜x＜1，由③得－1＜x≤2. 综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 答案 {x|－1＜x＜1}
3．(2012·广东卷)不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．
解析 ①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立． ②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1， 11∴2x≤－1，∴x≤－2，∴－2＜x≤－2.
③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，不成立．
???1
综上，原不等式的解集为?x?x≤－2
???
??
?. ??
答案
???1
?x?x≤－
2???
??? ??
4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的 取值范围为________．
解析 由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4， 即
－4＋b4＋b
＜x＜33，
∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则 －4＋b?0≤?3＜1?4＋b??3＜3≤4答案 (5,7)
5．(2013·江西卷)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1(x∈R)的 解集是________． 解析 由||x－2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2， ∴－2≤x－2≤2，∴0≤x≤4. 答案 {x|0≤x≤4}
6．不等式|x＋1|－|x－2|＞k的解集为R，则实数k的取值范围是________． 解析 法一 根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于PA－PB＞k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－ |x－2|≥－3.
故当k＜－3时，原不等式恒成立． 法二 令y＝|x＋1|－|x－2|，
?4≤b＜7，
??∴5＜b＜7. ?5＜b≤8，
?－3，x≤－1，
则y＝?2x－1，－1＜x＜2，
?3，x≥2，
足题意．
答案 (－∞，－3)
要使|x＋1|－|x－2|＞k恒成
立，从图象中可以看出，只要k＜－3即可．故k＜－3满
2
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
?－2x＋1?x≤－1?，
?3 ?－1＜x＜2?，?2x－1 ?x≥2?，
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解， ∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围为________． 1＋a
解析 法一 当x≥1时，不等式化为x＋x－1≤a，即x≤2. 1＋a
此时不等式有解当且仅当1≤2，即a≥1. 当x＜1时，不等式化为x＋1－x≤a，即1≤a. 此时不等式有解当且仅当a≥1.
综上所述，若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解， 则实数a的取值范围是[1，＋∞)．
?2x－1?x≥1?，
法二 设f(x)＝x＋|x－1|，则f(x)＝?
?1?x＜1?.f(x)的最小值为1.
因为x＋|x－1|≤a有解，即f(x)≤a有解，所以a≥1. 答案 [1，＋∞)
9．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．
解析 |a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲 成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件． 答案 必要不充分
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二、解答题
10．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值．
1
解 (1)法一 令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.原不等式可化为： 2???x＜－
122?或?－≤x＜4
?－x－5＞2
??1?或?4，
?3x－3＞2
?x≥?
x＋5＞2.
∴原不等式的解集为?????
x???x＜－7，或x＞5
3
??
???
. ?－x－5?
??x＜－12???
法二 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝?
???3x－3???－12≤x＜4?
?
?
x＋5?x≥4?
画出f(x)的图象
求y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，??5?
?3，2??.
由图象知f(x)＞2
的解集为????x??x＜－7，或5
?
???
?x＞3
??
. (2)由(1)的法二知：f(x)min＝－9
2.
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