发布时间 : 星期日 文章第二十二讲 矩阵、行列式自主招生更新完毕开始阅读3c83a281aeaad1f346933fc5
第二十二讲 矩阵、行列式
【知识拓展】
一．矩阵
（1）定义：矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
由m?n个数aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)排成的m行n列的数表称为m?n矩阵。
?a11?a21记作：A???...??am1a12a22...am2...a1n??...a2n??(aij)m?n
......??...amn?注意：矩阵的符号是“( )”，不能是“| |”。 其中aij称为矩阵的第i行第j列元素。
一般记为大写字母A、B、C、?等。必要时可记为Am?n、Bm?n等，或者(aij)m?n。
?x?2y?5如用加减消元法解二元一次方程组?
3x?y?8? 矩阵??1?2??叫做方程组的系数矩阵。 31??它是2行2列的矩阵，记为A2?2，矩阵Am?n可简记为A。 矩阵??1?25??叫做方程组的增广矩阵，它是2行3列的矩阵，可记作A2?3。
?3 18??10?（2）对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵，如??，叫做单位矩阵。
01???1?0E?En???...??00...0??1...0? ?.........?0...1?注意：单位矩阵是方阵。
说明：解方程组的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。 （3）.矩阵变化有下列三种：
? 互换矩阵的两行 1
? 把某一行同乘以（除以）一个非零常数 ? 某行乘以一个数加到另一行
通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 （4）矩阵的运算
? 矩阵相等：两个矩阵对应位置上的元素都相等，若A?aij,B?bij时，则aij?bij。 ? 矩阵的加法（减法）：将两个矩阵对应位置上的元素相加减，
即A?B?(aij)m?n?(bij)m?n?(aij?bij)m?n ? 矩阵的数乘：将实数?与矩阵A中所有元素都相乘
? 矩阵的乘法：当第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等时，
设矩阵A?(aik)m?l的列数与B?(bkj)l?n的行数相同，则由元素
????cij?ai1b1j?ai2b2j?...?ailblj??aikbkjk?1l
(i?1,2,...,m;j?1,2,...,n)构成的m行n列的矩阵C?(cij)m?n?(
二．行列式
（1）行列式是一种特定算式的符号。它表示的是一个值。有关函数、三角、数列等知识中的问题可以用行列式来表示。
（2）行列式的展开方法： ? 按对角线展开：
?ak?1likkjm?n称为矩阵
b)A与B的积，记为C?AB。
a1b1?a1b2?b1a2
a2b2a1a2a3b1b2b3c1c2?a1b2c3?b1c2a3?c1b3a2?c1b2a3?c2b3a1?c3a2b1 c3? 按代数余子式展开：
2
a1a2a3b1b2b3c1c2?a1c3b2b3c2c3?b1a2a3c2c3?c1a2a3b2b3，形式不唯一。
a1a2b1b2a1的余子式c1b2c2，在余子式前添上相应的符号（正、负），即为代数余子式。 c2?a3b3cb3c33???代数余子式的符号规律：???
???（3）解线性方程组 ? 二元一次方程组：??a1x?b1y?c1y?c
?a2x?b22D?a1b1a，Dc1b1x?，Da1c12b2c2by?2a2c 2①当D?0时，方程组有唯一解
②当D?0，Dx?0或Dy?0时，方程组无解 ③当D?0，Dx?Dy?0时，方程组有无穷多解
?a1x?b1y?c1z?d1? 三元一次方程组：??a2x?b2y?c2z?d2
??a3x?b3y?c3z?d3a1b1c1d1b1c1a1d1c1a1D?a2b2c2,Dx?d2b2c2，Dy?a2d2c2，Dz?a2a3b3c3d3b3c3a3d3c3a3①当D?0时，方程组有唯一解
②当D?0时，方程组无解或方程组有无穷多解。
xy1（4）?ABC中A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则SABC?112x2y2x3y33
b1d1b2d2 b3d311 1
x1由此还可以得到同一平面上三点A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?共线的充要条件：x2x3
【典例精讲】
y11y21?0 y31例1．（2012复旦）设P,2,3),P2(2,4,1),P,k,5),P4(4,k?1,3)是空间直角坐标系中的一个体积为11(13(1的四面体的四个顶点，其中k是实数，那么k的值为 。
（A）1或-2 （B）-1或2 （C）-3或4 （D）-6或12
?分析与解答：
由本章知识拓展，四面体的体积公式知
12412 V?k614k?1123111?1 51313112?212?20?6?0k?22?6 ?0k?2203k?103k?1001 ?02?22?6,|6(k?2)?2(k?7)|?6, 6k?20k?7,?或1?2。故选A。 4k?2??6k例2．（2010同济）设矩阵A??（1）求A；
（2）设x1?c，求数列{xn}的通项公式；
（3）在什么条件下数列{xn}存在极限？并求此时的极限limxn。
n??2axn?b?ab?aba?dx?(n?N*) 并且，数列满足{x},?0n?1n?d?cd?0d?分析与解答：
?ab??ab??a2?bcab?bd?（1）A??。 ?????2?cdcdac?cdbc?d??????2（2）因为
ab0d?ad?0，所以a?0,d?0，令xn?1???aa?b(xn??)，则???,(a?d)??b，ddd
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