发布时间 : 星期三 文章高等数学计算c更新完毕开始阅读3c9c0b0e2b160b4e777fcf02
将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，?,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过
(n-1)?(n-2)???2?1?n(n?1)/2次行对换后，得到
1Dn?(?1)n(n?1)21a?n?2???1a?1?1a? an?2an?1a?n?1?(a?n?1)n?2(a?n?1)n?1(a?n?2)n?2?(a?1)n?2(a?n?2)n?1?(a?1)n?1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：
?En?AB??n?m?Em?BADn?(?1)n(n?1)2
n(n?1)21?j?i?n?[(a?n?i)?(a?n?j)]?(?1)1?j?i?n?(i?j)
7、导数法
在分析讨论函数性质的时候，导数是一个很有力的工具，在其它场合，导数也是非常有效的。现在我们用导数来计算行列式。
例 22：证明
x?a11 x?a12 ... x?a1nx?a21 x?a22 ... x?a2n ... ... ... ...x?an1 x?an2 ... x?ann?a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...an1 an2 ... ann?x1?i,j?n?Aij
x?a11 x?a12 ... x?a1n证明：令f(x)?x?a21 x?a22 ... x?a2n ... ... ... ...x?an1 x?an2 ... x?ann则f(x)为次数不超过n次的
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1 1 ... 1a11 a12 ... a1n?1 1 ... 1... ... ... ...an1 an2 ... ann?...?a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...1 1 ... 1x的多项式且f'(0)?a21 a22 ... a2n... ... ... ...an1 an2 ... ann
?A11?A12?...?A1n?A21?A21?...?A2n?...?An1?An2?...?Ann?1?i,j?n?Aij
而易知f''(0)?f'''(0)?...?fn(0)从而有
f(x)?f(0)?xf'(0)?|aij|?x1?i,j?n?Aij （1）
其中（1）式用到了0点的泰勒展开式。
8、积分求行列式
此法适用范围：把行列式某行某列改写为定积分。交换积分计算与行列式计算次序后，所得行列式比所求行列式简单。
例23：求n?1阶行列式的值（n为偶数）
1 12 ... 1n 1n?12 22 ... 2n 2n?1Dn?1?... ... ... ... ...n n2 ... nn nn?1nn2nnnn?1 ... 23n?1n?21nknk(k?1,2,...,n?1)从而，把行列式Dn?1看作解：注意到?0xdx?nk?1
是另一个n?1阶行列式函数的定积分：即
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1 12 ... 1n 1n?12 22 ... 2n 2n?1Dn?1?... ... ... ... ...n n2 ... nn nn?11n1n21nn1nn?1xdx ?xdx ... ?xdx ?xdxn?0n0n0n0
1 12 ... 1n 1n?12 22 ... 2n 2n?11 11 ... 1n?1 1n1 21 ... 2n?1 2n1nn!n每行提公因子??... ... ... ... ...dx????????... ... ... ... ...xdx n0n02nn?1n n ... n n1 n1 ... nn?1 nnx x2 ... xn xn?11 x1 ... xn?1 xn1 1 ... 1 11 2 ... n x行列互换??????(n?1)!?... ... ... ... ...xdx被积函数可看成一个
0n1n?1 2n?1 ... nn?1 xn?11n 2n ... nn xnn?1阶范德蒙行列式，
1 1 1 ... 1a1 a2 a3 ... an2222利用V(a1,a2,...,an)?aaa ... a?1 2 3n... ... ... ... ...n?1n?1n?1a1n?1 a2 a3 ... an1?i?j?n?a)j?(ai这个公式我们可
1 1 ... 1 11 2 ... n x以得到... ... ... ... ...?c(x?1)(x?2)...(x?n)
1n?1 2n?1 ... nn?1 xn?11n 2n ... nn xn（这里c是与x无关的整数）
所以Dn?1?(n?1)!?0xc(x?1)(x?2)...(x?n)dx?c(n?1)!?0x(x?1)(x?2)...(x?n)dx 利用换元积分法作变换：x?t?（这里为n偶数，所以为整数）
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nnn2n2所以
Dn?1?c(n?1)!?x(x?1)(x?2)...(x?n)dx0nnnn ?c(n?1)!?(t?)(t??1)...(t?1)t(t?1)...(t?)dt222 n?? ?c(n?1)!?t(t2?12)(t2?22)...?t2?()2?dt2?? ?0n2n?2n2n?2（这里奇函数在对称区间上积分为零）
1 12 ... 1n 1n?12 22 ... 2n 2n?1所以：所求行列式Dn?1?... ... ... ... ...n n2 ... nn nn?1nn2nnnn?1 ... 23n?1n?2?0
结论：只要把行列式的其中一行（或一列）表为定积分后交换积分与行列式的计算顺序，如果计算简便，则便可利用行列式的积分计算。
9、行列式乘积法
a11a12a22...an2c11c21...cn1...a1n...a2n...c12c22...cn2......ann...c1n...c2n.........cnn,其中 b11b12b22...bn2...b1n...b2n.........bnna21...an1b21...bn1两个n级行列式D1?和D2?
的乘积等于一个n级行列式c?Cij是D1的第i行元素分别与D2的第j列的对应元素乘积之和，
即：
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