发布时间 : 2024/5/20 0:24:50 星期一 文章高等数学计算c更新完毕开始阅读3c9c0b0e2b160b4e777fcf02

Cij?ai1b1j?ai2b2j?...?ainbnj，(i,j?1,2?n)

利用行列式乘法的规则，我们可以把某些复杂的行列式化成两个简单的行列式的乘积的形式。

cos2?cos(???)cos(???)cos2?cos(???)cos(???) cos2?例24：计算cos(???)cos(???)分析：观察行列式，它的每个元素都可以分解为可分解为两项乘积的和，故由乘法定义，我们可以把它分解。

解：

cos?cos??sin?sin?D?cos?sin??cos?sin?cos?sin??cos?sin?cos?cos?sin?sin?00cos?0cos?sin??cos?sin?cos?cos??sin?sin?cos?sin??cos?sin?cos?0cos?0cos?sin??cos?sin?cos?sin??sin?cos? cos?cos??sin?sin? ?cos?sin?0??sin??sin??sin??0 例25：计算

1??1n?1n1??1?1...1??n?1n1??n?11??1n?nn...1??1?n......

n1??n?nn...1??n?n分析：行列式的每项能化简成两项乘积的和。 解：

(1??1?1??12?12)D?...............(1??1?n??12?n2??1n?1?nn?1)...

2n?1n?12n?1n?1(1??n?1??n?12??n?1)......(1??n?n??n?n2?...??n?n) 28

1?1??2122...?...?...n?11n?12111............11?2?......?1??12...?2?22...?3?32...?n?n2......2n...n?1n

1?n??...??1n?1?2n?1?3n?1...?nn?11?j?i?n?(?i??j)(?i??j)

10、递推法

应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

当行列式某一行（列）零元素比较多时，我们习惯按该行（列）展开，有时就能比较容易的求出行列式，比如：

x00yyx000y00......0......0......x00yxD?......................按第一列展开便得

......0xy?00　0x?00D?x　　???　00?xy　00?0xy　　0　　?　　0　　0x　y　　?　　0　　00　　0　　?　y　　00　　0　　?　x　y 　?y?(?1)n?1　?　　　?　　　?　 ?xn?(?1)n?1yn

29

注意：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

例26：

证如下行列式等式：

???1Dn?0?0?????1?00?0000????0????0?0?

?1????n?1??n?1证明　：Dn?,其中???

???（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。） 分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

Dn?（?＋?）Dn－1－??Dn－2

这是由Dn?1和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从

n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1

阶和 n-2阶行列式表示 n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝（?Dn－1－?Dn－2） （Dn－1－?Dn－2）或 Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝?

现可反复用低阶代替高阶，有：

30

23Dn－?Dn－1＝（?Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）＝?＝?（D2－?D1）=?n?2n－2[(???)?????(???)]????(1)2n

同样有：

23Dn－?Dn－1＝?（Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）＝?＝?（D2－?D1）=?n?2n－2[(???)?????(???)]????(2)2n

因此当???时

?n?1??n?1由（1）（2）式可解得：Dn?

???证毕。

点评：虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。

利用数学归纳法的基本思想方法，建立递推关系，即：找出Dn与

Dj（j?n）的递推关系，再求出D1,D2,D3低阶之间的相应递推关系，

最后求出Dn，也可进一步用数学归纳法证明此递推关系的正确性。 例27：计算2n阶行列式

anan?1?D2n??cn?1cna1c1b1d1?dn?1dn?bn?1bn。

解：

31