发布时间 : 星期六 文章直线的一般式方程（附答案）更新完毕开始阅读3d76f1e2e43a580216fc700abb68a98271feac9e
直线的一般式方程
[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.
知识点 直线的一般式方程
1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.
AC2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，
BBCCC在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－. AAB3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程.
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (3)x的系数一般不为分数和负数.
(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？
答 (1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.
故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.
(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化
4
例1 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
3A.3x＋4y＋7＝0
B.4x＋3y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0
(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( ) 9
A.3 B.－5 C. D.－33
5答案 (1)B (2)D
4
解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.
34
又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，
3所以只有B项正确. (2)令y＝0则x＝－33.
跟踪训练1 一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.
xy
解 设所求直线方程为＋＝1，
ab22
∵点A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①
ab又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， 1∴|a|·|b|＝1.② 2
?a－b＝1，?a－b＝－1，??
由①②可得?或?
??ab＝2，ab＝－2.?????a＝2，?a＝－1，?解得或?第二个方程组无解. ?b＝1，???b＝－2.
xyxy
故所求直线方程为＋＝1或＋＝1，
21－1－2即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
题型二 直线方程的应用
例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直.
3
解 方法一 l的方程可化为y＝－x＋3，
43
∴l的斜率为－. 4
3
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
4又∵l′过点(－1,3)，
3
由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，
4即3x＋4y－9＝0.
4
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，
34
由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
3即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
跟踪训练2 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0. (1)平行；(2)垂直.
解 当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；
－1＋a
当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2；
211
直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－. aa(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2， 1－1＋a1
得＝，a≠－， a22解得a＝－1或a＝2.
所以当a＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1， 1?－1＋a?1即·＝－1，解得a＝. a231
所以当a＝时，两直线垂直.
3
题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围
例3 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______. (2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1. (1)答案 m≠－3
解析 若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
2
??m＋5m＋6＝0，
解方程组?2得m＝－3，
?m＋3m＝0，?
所以m≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1， 2m2＋m－3
所以－＝1，
m2－m
2??m－m≠0，所以?2 2
?2m＋m－3＝－?m－m?，?
??m≠0且m≠1，解得?所以m＝－1.
??m＝－1或m＝1.
②因为已知直线在x轴上的截距为1， 4m－1令y＝0得x＝2，
2m＋m－34m－1
所以2＝1，
2m＋m－3
2??2m＋m－3≠0，所以? 2
?4m－1＝2m＋m－3，?
?m≠1且m≠－2，解得?1
m＝－或m＝2.?2
1
所以m＝－或m＝2.
2
3
跟踪训练3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 13
x－?， (1)证明 直线方程变形为y－＝a?5?5?13?它表示经过点A??5，5?，斜率为a的直线. 13?∵点A??5，5?在第一象限，