发布时间 : 星期一 文章高考数学二轮复习专题三解析几何教学案更新完毕开始阅读3e11bfd7beeb19e8b8f67c1cfad6195f302be848
专题三 解析几何
江苏新高考
高考对本章内容的考查多以“两小一大”的形式出现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大题主要考查直线与圆如2013年、2016年、直线与椭圆如2014年、2015年、2017年的位置关系、弦长问题及范围问题等.
第1课时解析几何中的基本问题(基础课) [常考题型突破]
直线方程及两直线位置关系[必备知识] 1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程
中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝
|Ax0＋By0＋C|
.
A2＋B2
(2)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，|C1－C2|
l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
A2＋B2
[题组练透]
1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．
1
解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线lkPQ
的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
2．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0
相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为__________．
1?1?解析：由题意，kl1＝k，kl2＝－，则kl1·kl2＝k·?－?＝－1(k＝0时，两条直线也相互垂直)，并且k?k?
两条直线分别经过定点：M(0,2)，N(2,0)．
∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且kMN＝－1，可得MN与直线x－y－4＝0垂直．
|0－2－4|
∴点M到直线x－y－4＝0的距离d＝＝32为最大值．
2
答案：32
3．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点P(0,1)，Q(3,6)，在直线y＝x上取两点M，
N，使得MN＝2a(其中a>0为定值)，则当PM＋NQ取得最小值时，点N的坐标为________．
解析：(1)设点A(1,0)，B(1＋a，a)，则AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABNM为平行四边形，所以AM1 / 21
＝BN，又因为点P与A关于直线y＝x对称，所以PM＝AM，所以PM＋NQ＝AM＋NQ＝BN＋NQ，所以当B，N，Q三点共线时，PM＋NQ取最小值为BQ＝
a－22＋
a－62.此时BQ方程为(a－6)x－(a－2)y＋3a＋6＝
0，与直线y＝x联立解得N?
(2)若设A(1,0)，B(1－a，－a)，同理可得PM＋NQ最小值为
a＋22＋
a＋22＋
?3a＋6，3a＋6?.
?4??4
a＋62，因为a>0，所以
a－62，不合题意．
a＋62>a－22＋
综上，PM＋NQ取得最小值时点N的坐标为?
?3a＋6，3a＋6?.
4??4??3a＋6，3a＋6?4??4?
[方法归纳]
答案：?
求直线方程的两种方法
圆的方程
[必备知识]
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，特别地，当圆心在原点时，方程
为x＋y＝r.
2．圆的一般方程
E?D2＋E2－4F?D2222
x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F>0，表示以?－，－?为圆心，为半径的圆．
2?2?2
[题组练透]
1．(2017·南通一模)已知圆C过点(2，3)，且与直线x－3y＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C的方
程为_______________． 解析：设圆心为(a，b)，
33
?b－·＝－1，
3 则?a
?a－22＋(b－3)2＝a2＋
2
2
2
2
2
2
b－32，
22
解得a＝1，b＝0，r＝2.
即所求圆的方程为(x－1)＋y＝4.
答案：(x－1)＋y＝4
2．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y45
＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
5
22
2 / 21
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝
2a5＝
45
，解得a＝2，5
所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，
所以圆C的方程为(x－2)＋y＝9.
答案：(x－2)＋y＝9
3．与圆C：x＋y－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为_______．
解析：由题意，所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a<0)，又因为所求圆与圆C：x＋y－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为25，所以a2＋－2a2＝25，可得a＝4，解
得a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)＋(y－4)＝20.
答案：(x＋2)＋(y－4)＝20
[方法归纳]
圆的方程的两种求法 (1)几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程． (2)代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程． 直线与圆、圆与圆的位置关系 [必备知识] 1．过圆O∶x＋y＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r.
2．过圆O∶x＋y＝r外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线
AB的方程是x0x＋y0y＝r.
3．判断直线与圆的位置关系问题的两种方法
(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来判断位置关系：Δ>0?相
交；Δ＝0?相切；Δ<0?相离．
(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d
4．判断两圆位置关系时常用几何法
即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r的关系来判断两圆位置关系．
(1)外离：O1O2>R＋r； (2)外切：O1O2＝R＋r； (3)相交：R－r (4)内切：O1O2＝R－r； (5)内含：0≤O1O2 [提醒] 利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含． [题组练透] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 / 21 1．(2017·苏锡常镇二模)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x＋y－2x－4y＝0，当直线l被圆C 所截得的弦长最短时，实数m＝________. 解析：由题意得，C(1,2)，直线l：m(x－2)＋y－1＝0恒过定点A(2,1)，当直线l被圆C所截得的弦1－2 长最短时，直线l⊥CA，因为直线l的斜率为－m，直线CA的斜率为＝－1，所以－m×(－1)＝－1，即 2－1 m＝－1. 答案：－1 2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x＋y－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23， 则圆C的面积为________． 解析：圆C：x＋y－2ay－2＝0化为标准方程为x＋(y－a)＝a＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝|0－a＋2a||a| a2＋2，因为|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定 22 理得? 2 2 2 2 2 2 2 22 ?23?2?|a|?222 ?＋??＝a＋2，解得a＝2，?2??2? 2 所以r＝2，所以圆C的面积为π×2＝4π. 答案：4π 3．若圆(x－2a)＋(y－a－3)＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 ________． 解析：由题意，两圆(x－2a)＋(y－a－3)＝4与x＋y＝1相交于相异两点，所以1<4a2＋a＋32 ??5a2＋6a＋8>0， <3，即? ??5a2＋6a<0， 2 2 2 2 2 2 6 解得－ 5 ?6? 答案：?－，0??5? 4．(2017·扬州考前调研)已知圆C：x＋y－2ax－2y＋2＝0(a为常数)与直线y＝x相交于A，B两点， π 若∠ACB＝，则实数a＝________. 3 解析：因为圆C的标准方程为(x－a)＋(y－1)＝a－1，所以C(a,1)，r＝a2－1，因为圆C与直线yπ3|a－1|2 ＝x相交于A，B两点，且∠ACB＝，所以r＝，且a－1>0，解得a＝－5. 322 答案：－5 5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0,6)，点P在圆O：x＋y＝50上．若 ―→―→ PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是________． ―→―→ 解析：设P(x，y)，则PA·PB＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20. 又x＋y＝50，所以2x－y＋5≤0， 所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)． ＋y＝50上， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又点P在圆x2 ??，50＝y2＋x2? ，5＋2x＝y?? 由 4 / 21