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极端原理与无穷递降法
例1、
极端原理与无穷递降法
1、已知S1,S2,S3为非空整数集合，且对于1,2,3的任意一个排列i,j,k，若x?Si,y?Sj则x?y?Sk（1）证明：S1,S2,S3中至少有两个集合相等；（2）这三个集合是否可能有两个集合无公共元素 2、设n元集合X的某些三元子集组成集合S，且S中每两个元素（子集）之间至多有1个公共元素，证明：存在集合A?X，使得card?A???2n?，且S中的任何元素都不是A的子集
??3、厦门一中2007级数学兴趣小组的20名同学举行14场乒乓球单打比赛，每人至少上场一次，求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同
4、已知x1,x2,?,xn是实数，a1,a2,?,an和b1,b2,?,bn均为正整数，令
a?a1x1?a2x2???anxna1?a2???an,b?b1x1?b2x2???bnxnb1?b2???bn
求证：在x1,x2,?,xn中必存在两个数xi,xj，使a?b?a?xi?xi?xj成立 5、求方程x4?4y4?2?z4?4u4?的整数解
6、在平面上有n个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这n个点中的两个点
7、某个星系的每一个星球上都有一位天文学家在观测最近的星球，若每两个星球间是距离都不相等，证明：当星球个数我奇数时一定有一个星球任何人都看不到
8、若干个儿童围成一圈，他们手中都拿有一些糖块，规定进行如下传递，每次的传递方法是：如果某人手中的糖块数是奇数，则他可再领取一块，然后每人都把手中的糖块的一半传给右边的小朋友，求证：一定可以经过若干次传递，使得所有儿童手中的糖块数都相同
9、在n名选手参加的循环赛中，每两人比赛一场（无平局），试证下列两种情况恰有一种发生： （1）可将所有选手分成两个非空集合A和B，使得A中的任何一名选手都能战胜B中的所有选手 （2）可将n名选手从1到n编号，使得第i名选手战胜第i?1名选手，将n?1理解为1
10、平面上已给出997个点，将连接每两点的线段的中点染成红色，证明至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点集？
11、在n?n的方格中写上非负整数，如果在某一行和某一列的交汇处的数是0，那么该行和该列上所填各数之和不小于n，证明：表中所有数的和不小于
12n
2212、设k?2,k?N，试证不能在k?k的方格中填入数1,2,?,k，使每行和每列数之和都是2的幂
13、设S是一个非空点集，它的所有点都是整点，此外还给定一组有无限多个有整数坐标的非零向量组，已知当将向量组中的所有向量的起点都放在S中的任一点时，它们的终点属于S的比不属于S的多，证明：S必为无穷点集
14、设n?2,n?N，全部正因数1?d1?d2???dk?n,记D?d1d2?d2d3???dk?1dk （1）证明：D?n2；（2）确定所有的n使得D能整除n2
15、设0?xi?1,i?1,2,?,n,n?2，求证：存在i?1?i?n?1?满足xi?1?xi?1??14x1?1?xn?
16、已知集合M的元素都是整数，既有正整数又有负整数，且当a,b?M时2a和a?b也属于M，求证：当a,b?M时a?b也属于M
17、证明：方程x2?y2?3?z2?u2?不存在正整数解?x,y,z,u?
18、已知三所学校中的每所都有n名学生，且任何一名学生都认识其他两所学校的学生总数都是n?1，求证：可以从每所学校各选一名学生，使得这三名学生彼此都认识 19、求所有的非空有限的正整数集S，使得对任意i,j?S有数
i?j?S
?i,j?20、在平面上任给2n个点，其中任意三点不共线，并把其中n个点染成红色，n个点染成蓝色，求证：可以一红一蓝的把它们连成n条线段，使这些线段互不相交
21、平面上有n个点，其中任意三点不共线，且任意三点构成的三角形的面积都小于1，证明：存在一个面积小于4的三角形包含这n个点
22、20个足球队参加全国赛，问最少应进行多少场比赛才能使得任何3个队中总有两个队彼此比赛过 23、设有n个人A1,A2,?,An，其中有些人互相认识。证明：可用适当方式把他们分成两组，使每人都至少有一半熟人不跟他在一组
24、平面上有若干个圆，它们所盖住的面积为1，证明：一定可以从这些圆中去掉一部分圆，使得余下的圆互不相交且它们所覆盖的面积不小于
19
225、对正整数n，S(n)是满足如下条件最大的整数：对每个正整数k?S(n)，n都可写成k个完全平方数的和。
22（1）求证对每个n?4有S(n)?n?14；（2）试找出一个整数n使得S(n)?n?14；
（3）试证明有无穷多个整数n使得S(n)?n?14。
226、已知正整数a,b，满足ab?1整除a?b，证明
44422a?b22ab?1是某一个正整数的平方。
27、不定方程x?y?z没有满足xyz?0的整数解。 28、证明方程x?y?xy没有满足xy?0的整数解。
29、求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。
222230、把1600颗花生分给100只猴子，证明：不管怎么分，至少有4只猴子得到的花生一样多，请设计一种分法，使得没有5只猴子得一样多的花生
31、n?n?3?名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然不完全相同 32、已知a1?1,a2?2且对n?1,2,?，an?2?5an?1?3an,当an?1an为偶数，试证明：an?0 ??a?a,当aa为奇数nn?1n?n?133、平面上有矩形的无穷集合，其中每个矩形的顶点坐标为?0,0?,?0,m?,?n,m?,?n,0?，这里m和n均为正整数，求证：从这些矩形中可以选出两个来，使得一个包含在另一个之中
34、求证：在四面体ABCD中，必有某个顶点，从它出发的三条棱作为三边可以构成一个三角形 35、求方程a2?b2?c2?a2b2的所有整数解
36、（1）设S是平面上的一个有限点集（含点数?5），其中若干点染成红色，其余点染成蓝色，设任
何三个及三个以上的同色点不共线，求证：存在三个顶点同色的三角形且这三角形至少有一条边上不包含另一颜色的点
（2）空间中有20个点，或是红点，或是蓝点，而且任意四个同色点不共面，求证：存在四个顶点同色的四面体，这个四面体中有某一侧面不含另一颜色的点
37、某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。
38、设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E (偶数个元素组成的子集)都对应一个实数f?E?，满足条件：（1）存在一个偶子集D，使得f?D??1990；
（2）对于X的任意两个不相交的偶子集A,B，有f?A?B??f?A??f?B??1990。 求证：存在X的子集P,Q，满足 （1）P?Q??,P?Q?X；
（2）对P的任何非空偶子集S，有 f?S??1990；（3）对Q的任何偶子集T，有f?T??1990。 39、在有限的实数列a1,a2,?,an中，如果一段数ak,ak?1,?,ak?l的算术平均值大于1988那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把ak叫做这条龙的“龙头”(如果某一项an?1988，那么单独这一项也叫龙)。假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于1988。
40、S是?1,2,?,1989?的一个子集且S中任意两个数的差不能是4或7，求card?S?的最大值 41、给定集合S??Z1,Z2,?,Z1993?，其中Z1,Z2,?,Z1993为非零复数（可视为平面上非零向量）． 求证：可以把S中元素分成若干子集，使得
（1）S中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°． 42、f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果f?n?1??f数n都成立，则f?n??n对每个n都成立。
43、若干个人聚会，其中某些人彼此认识，已知如果某两人在聚会者中有相同数目的熟人，那么他们两没有共同的熟人，证明：如果聚会者中至少有2008个熟人，则必然也有人恰好有2008个熟人 44、凸四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在凸四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，满足
AEEB?BFFCGD?CG?DHHA?f?n??对所有正整
而点A,B,C,D分别在凸四边形E1F1G1H1的边E1F1, F1G1, G1H1, H1E1上，满?1，
E1AAH1F1CCG1足E1F1∥EF，F1G1∥FG，G1H1∥GH，H1E1∥HE．已知??，求
的值
45、求最大的正整数A，使得对于由1到100的全部正整数的任一个排列，其中都有10个位置相邻的数，其和不小于A
46、一张圆桌，两人轮流往上放大小相等的硬币，只许平放，不许重叠，谁在桌上放下最后一枚硬币谁就是胜利者，是先放者胜还是后放者胜？有没有一种必胜策略？
47、一次10名选手参加的循环赛中无平局，胜者得1分，负者得0分，证明：各选手得分的平方和不超过285
48、某班共有30名学生，每一名学生在班内都有同样多的朋友，试问：比自己大多数朋友成绩都要好的学生最多可能有多少名（假定该班任何两名学生的成绩都可以比出谁好谁差）
49、设集合A??1,2,?,2n?1?，求一个包含元素最多的集合A的子集B使得B中任意三个元素a，
b，c都有a?b?c
50、在平面上有m个点，它们的两两距离之中一共只有不超过n种不同的距离，求证：m??n?1? 51、一次n名选手参加的循环赛中无平局，胜者得1分，负者得0分，若任意四个人之间进行的比赛中至少有两个人积分相同，求n的最大值 52、
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