发布时间 : 星期三 文章2003年考研数学三真题及全面解析更新完毕开始阅读3e7bdd404128915f804d2b160b4e767f5acf8095
2003年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是??2. x若x?0,??0,【分析】 当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.
【详解】 当??1时，有
11???1??xcos?x??2sin,若x?0, f?(x)?? xx若x?0,?0,?显然当??2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续.
x?0（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b可以通过a表示为b? 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b与a的关系.
【详解】 由题设，在切点处有
2 y??3x?3a?0，有 x0?a2.
222226又在此点y坐标为0，于是有
30?x0?3a2x0?b?0,
222故 b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6.
（3）设a>0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则
?0,其他，I???f(x)g(y?x)dxdy= a2 .
D【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.
【详解】 I? =a??D2f(x)g(y?x)dxdy=
10?x?1,0?y?x?12a??dxdy
?0dx?x?1xdy?a2?[(x?1)?x]dx?a2.
01（4）设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵
T 1 / 14
T A?E???， B?E?1??T， a其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .
T2T【分析】 这里??为n阶矩阵，而???2a为数，直接通过AB?E进行计算并
注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设，有
1??T) a11TTTT =E????????????
aa11TTTT =E????????(??)?
aa1TTT =E???????2a??
a1T =E?(?1?2a?)???E,
a112于是有 ?1?2a??0，即 2a?a?1?0，解得 a?,a??1. 由于A<0 ,故a=-1.
a2 AB?(E???)(E?T
（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为
0.9 .
【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为
Y,Z)?cov(Y,X?0.4)?E[(Y(X?0.4)]?E(Y)E(X?0.4) cov( =E(XY)?0.4E(Y)?E(Y)E(X)?0.4E(Y) =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),
且DZ?DX.
于是有 cov(Y,Z)=
cov(Y,Z)DYDZ=
cov(X,Y)DXDY??XY?0.9.
（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样
11n2本，则当n??时，Yn??Xi依概率收敛于 .
2ni?1【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： X1,X2,?,Xn，
p1n1n ?Xi??EXi(n??).
ni?1ni?1 2 / 14
22【详解】 这里X12,X2满足大数定律的条件，且 ,?,Xn111EXi2?DXi?(EXi)2=?()2?，因此根据大数定律有
4221n21n1 Yn??Xi依概率收敛于?EXi2?.
ni?1ni?12
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x) x(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 limg(x)?limx?0x?0f(x)f(x)?f(0)?lim?f?(0)存在，故x=0为可去间断点. x?0xx?0
（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是
(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. [ A ]
【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.
【详解】 可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知
fy?(x0,y0)?0，即f(x0,y)在y?y0处的导数等于零, 故应选(A).
（3）设pn??an?an2n，qn??an?an2?n，n?1,2,?，则下列命题正确的是
(A) 若
?an?1?条件收敛，则
?pn?1?与
?qn?1?n都收敛.
(B) 若
?an?1?n绝对收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n都收敛.
(C) 若
?an?1n条件收敛，则
?pn?1n与
?qn?1n敛散性都不定.
3 / 14
(D) 若
?an?1?n绝对收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n敛散性都不定. [ B ]
【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若
?an?1?n绝对收敛，即
?an?1?n收敛，当然也有级数
?an?1?n?n收敛，再根据
pn?(B).
an?an2，qn?an?an2及收敛级数的运算性质知，
?pn?1?n与
?qn?1都收敛，故应选
?abb???（4）设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 ????bba??(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.
(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. [ C ] 【分析】 A的伴随矩阵的秩为1, 说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件. 【详解】 根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有
abb bab?(a?2b)(a?b)2?0，即有a?2b?0或a=b. bba但当a=b时，显然秩(A)?2, 故必有 a?b且a+2b=0. 应选(C).
（5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是
(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，
则?1,?2,?,?s线性无关.
(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有
k1?1?k2?2???ks?s?0.
(C) (D)
?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]
【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.
【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks,都有 则?1,?2,?,?s必线性无关，因为若?1,?2,?,?s线性相关，k1?1?k2?2???ks?s?0，
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