发布时间 : 星期三 文章2015中考真题元二次方程及其应用更新完毕开始阅读3e941e3c84254b35effd3482
考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系．
2.（2015湖北荆州第24题12分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0． （1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
2
（2）当抛物线y=kx+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数
时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
2
（3）已知抛物线y=kx+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．
分析： （1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；
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（2）通过解kx+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x+3x+2，结合图
象回答问题．
2
（3）根据题意得到kx+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解
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方程组求得该定点坐标．
解答： （1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根， ②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
2
（2）解：令y=0，则kx+（2k+1）x+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数， ∴k=1．
∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，
．
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．
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（3）依题意得kx+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x+2x）+x﹣y+2=0恒成立，
则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．
3. （2015?四川南充,第20题8分）（8分）已知关于x的一元二次方程p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】略；P=0、2、－2.
，
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【解析】
考点：一元二次方程根的判别式.
4. （2015?四川南充,第25题10分）已知抛物线
0）与x轴交于点A（m－2，
和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．（1）求抛物线解析式．
y1）N(x2，y2)（2）直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M（x1，，（x1＜x2），当 最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
【答案】y=－+2x+3；当最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)，N(1,4)；当
，0)，点B平移到B′(
，0)时，周长L最短
线段OB向左平移为：【解析】
+
+3.
，即点O平移到O′(－
试题分析：根据对称轴求出b的值，然后根据交点得出方程的解，然后利用一元二次方程的
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韦达定理求出m和c的值，从而得到抛物线解析式；根据函数的交点得出+和·的
值，然后利用完全平方公式求出最小值，得出交点的坐标；根据线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，平移线段OC到BC′得到四边形OBC′C是矩形，做点P关于x轴对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′，设C′P′解析式为y=ax+n，x的值，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出当y=0时，从而得出平移后点B′的坐标，故点B向左平移
，同时点O向左平移
，平移到O′(－
，0)即线段OB向左平移
时，
周长L最短.此时线段BP、CO之和最短为P′C′=，O′B′=OB=3 CP=
(2)、由 ∴+(k－2)x－1=0 +=－(k－2) ·=－1
∴即∴当
的最小值为2 ∴
－1=0
∴当k=2时，=1，
=－1，即
=4，
的最小值为4 =0
最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)，N(1,4).
(3)、O(0,0)，B(3,0)，P(1,4)，C(0,3) O、B、P、C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO ∵线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变 ∴要使L最小，只需BP+CO最短 如图，平移线段OC到BC′ 四边形OBC′C是矩形 ∴C′(3,3)
做点P关于x轴对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′，设C′P′解析式为y=ax+n
∴ 解得： ∴y=
当y=0时，x= ∴B′(，0) 有3－= 故点B向左平移，平移到B′
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