发布时间 : 星期三 文章(统编版)2020高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04更新完毕开始阅读3eb7bcc46d175f0e7cd184254b35eefdc9d3155e
512251?cos2?213??3?由cos2???1?sin???1?(?)??，得tan??121313sin2?2?1312?sin2?3?13??； 或tan??51?cos2?21?131?51?cos??13??3. ??或tan???51?cos2?21?131??所在的象限是角α的平分线及其反向延长线所2??在的象限.当α位于一、二象限时，位于一、三象限；当α位于三、四象限时，位
22方法归纳 ①已知角α所在的象限，则于二、四象限.
②已知单角的弦函数，求半角的切函数时，使用公式tan?2?sin??1?cos?或tan?1?cos?2sin?可避开符号的讨论.
③若角α的倍角2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把2α与
?的角的函数值连在一起. 2知识点二 积化和差公式的应用 例4 求下列各式的值：
5??sin；(2)2cos50°cos70°-cos20°. 12125??15??5??解：(1) cossin?[sin(?)?sin(?)]
1212212121212(1)cos?1??1313(sin?sin)?(1?)??. 2232224巧解提示:cos5??5?5?5?sin?coscos?cos2?12121212121?cos5??1?cos6?6 221??32?1?3. 224(2)原式=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos20° =cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-cos60°=?1. 2 5
例5 求证：(1)sin80°cos40°=(2)sin37.5°sin22.5°=?证明：(1)左边=
31?sin40?； 4211+cos15°. 421［sin(80°+40°)+sin(80°-40°)］ 2=
311?sin40°=右边，所以原式成立. (sin120°+sin40°)=
4221［cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)］ 2111=?(cos60°-cos15°)=??cos15°=右边，所以等式成立.
242(2)左边=-方法归纳 ①只有同名或异名弦函数积的形式，才能积化和差，它也实现了角的重组，出现了(α±β)这样的角.
②在积化和差的过程中，构成积的两个因式的顺序不同时，使用的公式也不同，但最终结果是相同的.
③三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式都是化归思想中的等价化归在实际问题中的应用.
知识点三 和差化积公式的应用 例6 求下列各式的值: cos75°-cos15°；(2)
sin20??sin40?.
cos20??cos40?解：(1)cos75°-cos15°
??2sin75??15?75??15? sin22212???. 2222. 2=-2sin45°sin30°=?2?巧解提示:cos75°-cos15°=cos(45°+30°)-cos(45°-30°)=-2sin45°sin30°=?20??40?20??40?sin2cos30?sin(?10?)22???(2)原式=
20??40?20??40??2sin30?sin(?10?)?2sinsin222cos32??3. 121sin(x?y)sinx?siny2例7 求证:(1)cos40°-cos80°=3sin20°；(2). ?1sin(x?y)sin(x?y)240??80?40??80?证明：(1)左边=?2sin=-2sin60°sin(-20°)=3sin20°=右边. sin22
6
所以原式成立.
112sin(x?y)cos(x?y)22(2)右边? 112sin(x?y)cos(x?y)2211sin[(x?y)?(x?y)]?sin[(x?y)?(x?y)]sinx?sin(?y)sinx?siny22=左???sin(x?y)sin(x?y)sin(x?y)边.
所以原式成立.
方法归纳 ①只有系数绝对值相等的同名弦函数的和、差的形式才能化积，化积后实现了角的重组， 出现了
???2这样的角.
②在运用积化和差或和差化积公式化简三角函数式时，若解析式中存在三个或三个以上因式，当进行积化和差时，应选择两角的和或差是特殊角的形式相结合；当进行和差化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他角一致的因式相组合. ③积化和差与和差化积公式与同角的三角函数的基本公式、诱导公式、两角和差与二倍角公式、半角公式一样，也是进行三角恒等变换的工具.
例8 求函数y=sinx+23sinxcosx-cosx的最小正周期与最小值，并写出该函数在［0，
4
4
π］上的单调增区间.
22
思路分析：本题考查三角函数的基础知识.根据题设结构特征，先用a-b=(a+b)(a-b)，再用asinθ+bcosθ=a2?b2sin(θ+φ)求解.
442222
解：y=sinx-cosx+23sinxcosx=(sinx+cosx)(sinx-cosx)+3sin2x
=3sin2x-cos2x=2(
31?sin2x-cos2x)=2sin(2x-). 226该函数的最小正周期是π，最小值是-2.
?????≤2x-≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z. 262635?4???取k=0，得-≤x≤；取k=1，得.由于0≤x≤π，所以该函数在［0，π］?x?63635??上的增区间是［0，］或［，π］.
63令2kπ-例9 设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，x∈R. (1)若f(x)=1-3且x∈［???，］，求x； 33?)平移后得到函数y=f(x)的图象，求27
(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|＜
实数m、n的值. 思路分析：本小题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.
解：(1)依题设，f(x)=2cosx+3sin2x=1+cos2x+3sin2x
2
=1+2(
31?cos2x+sin2x)=1+2sin(2x+).
2263??)=1-3，得sin(2x+)=?.
266由1+2sin(2x+
??5???≤x≤，∴-??2x??.
26633???∴2x+=?，即x=-?.
346∵-(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数
y=f(x)的图象. 由(1)得f(x)=2sin2(x+∵|m|＜
?)+1. 12??，∴m=?，n=1. 212方法归纳 ①为使辅助角公式形式最简，可通过提取公因式a2?b2或?a2?b2使辅助角θ是一锐角的形式.辅助角公式是化特殊为一般的化归思想的具体运用，它把
y=asinωx+bcosωx的函数式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，以进一步研究函数的性质. ②一般地，函数y=asinωx+bcosωx，x∈R的最大值是a2?b2，最小值是?a2?b2；周期是T?2??；可把化简后的解析式y=a2?b2sin(ωx+φ)的“ωx+φ”，ω>0视为
一个整体，结合初等三角函数的性质求单调区间. 问题?探究 思想方法探究
问题 积化和差与和差化积公式在形式上非常相似，其实质是一类公式的正用或逆用，那么在使用这些公式时，通常怎样变化？
探究过程:积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.
探究结论:在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.
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