发布时间 : 星期四 文章2017届高三一轮复习 - -2.3 函数的奇偶性与周期性更新完毕开始阅读3f2a90e35ff7ba0d4a7302768e9951e79b896994
2.3 函数的奇偶性与周期性
【高考考点】1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义
2、会运用函数图像理解与研究函数的奇偶性
3、了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
【知识梳理】 一、函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内__________x都有______________ 那么函数f(x)是偶函数 奇函数 【易错提醒】
（1）判断函数的奇偶性，易忽视判断函数的定义域是否关于原点对称。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一
个必要条件。
（2）判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内每一个x，均有f(?x)?f(x)、f(?x)??f(x)，而不能说存
在x0使f(?x0)?f(x0)、f(?x0)??f(x0)。
（3）分段函数奇偶性判断时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数二否定函数在整个定义域上的奇偶性时错
误的。
如果对于函数f(x)的定义域内__________x都有______________ 那么函数f(x)是奇函数 关于___________对称 图像特点 关于___________对称 二、函数的周期性 1、周期函数
对于函数y?f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)定义域内的任意x，都有
f(x?T)?f(x)，则称f(x)为周期函数，非零常数T叫这个函数的周期。
2、最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数叫做最小值周期。
【必记结论】
1、函数奇偶性的几个主要结论:
（1）如果一个奇函数在原点出有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2、有关周期的结论:
（1）定义式f(x?T)?f(x)对于定义域内的x是恒成立的。
（2）若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.
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（3）若函数f(x)满足f(x?a)??f(x)，则f(x)的周期为：T?2a
（4）若函数f(x)满足f(x?a)?1(a?0)，则f(x)的周期为：T?2a f(x)1(a?0)，则f(x)的周期为：T?2a f(x)（5）若函数f(x)满足f(x?a)??3、有关对称性的结论:
（1）若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． （2）若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称． 若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． （3）函数自身的对称问题:
?① 函数y?f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x?a)?f(a?x) f(2a?x)f( x)② 函数y?f(x)的图象关于点 (a,0) 对称 f(a?x)??f(a?x) f(2a?x)??f(x )a?b对称 2a?b,0)对称 ④ 若函数y?f(x)在R上满足f(a?x)??f(b?x)，则f(x)关于点(2③ 若函数y?f(x)在R上满足f(a?x)?f(b?x)，则f(x)关于直线x?（4）两个函数的对称问题:
函数y?f(a?x)与y?f(b?x)关于直线x?
4、对称性与周期的关系：
（1）若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． （2）若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． （3）若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期． 对称性与周期性的区别： 内同表周期 内反表对称 内反外同轴对称 内外都反中心对称
注： “内同”--------f(x)的括号中的x的系数的正负相同
“内反”--------f(x)的括号中的x的系数的正负相反
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b?a对称 （由a?x?b?x可得） 2考点一：函数的奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)?x4, （2）f(x)?x3?x （3）f(x)?x5, （4）f(x)?x? （5）f(x)?1?x2?（7）f(x)?x21 xx2?1 （6）f(x)?a,a?0
x?[?1,2]
例2、【2015福建理2】下列函数为奇函数的是___________________
A.y?x B.y?sinx C.y?cosx D.y?ex?e?x
练习：
（1）【2015北京文】下列函数中为偶函数的是_______________
A. y?x2sinx B. y?x2cosx C. y?|lnx| D. y?2?x
解析：根据偶函数的定义f(?x)?f(x)，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域
为(0,??)不具有奇偶性，D选项既不是奇函数也不是偶函数.故选B．
（2）【2015广东3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
11x A．y?x?ex B．y?x? C．y?2?x D．y?1?x2
x2
（3）【2014全国1卷3】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列
结论正确的是_____________
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
例3、已知奇函数f(x)的定义域是(t,2t?3)，则实数t?_________
【规律方法】判断函数奇偶性的方法
（1）定义法： ① 先求函数定义域，并判断定义域是否关于原点对称，若不对称，既不是奇函数也不是偶函数。
② 如果定义域关于原点对称，那么再判断f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x).
③ 作出相应结论.
（2）图像法：函数f(x)的图像关于原点对称 f(x)为奇函数
函数f(x)的图像关y轴对称 f(x)为偶函数
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（3）性质法：① 奇函数?奇函数?奇函数、奇函数?奇函数?偶函数、奇函数?奇函数?偶函数
② 偶函数?偶函数?偶函数、偶函数?偶函数?偶函数、偶函数?偶函数?偶函数
③ 奇函数?偶函数?奇函数、奇函数?偶函数?奇函数
例4、【2013山东3】已知函数f(x)为奇函数，且当x?0时，f(x)?x?21，则f(?1)=____________ x A．-2 B. 0 C. 1 D. 2
练习：（1）设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?2x2?x，则f(1)= ____________
A、?3 B、?1 C、1 D、3
（2）【2014湖南3】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)?g(x)?x3?x2?1，
则f(1)?g(1)?____________
A、?3 B、?1 C、1 D、3
2（3）【2012上海理9】已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1，若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? 。
考点二：函数的周期性
例5、 【2014安徽6】设函数f (x) (x∈R)满足f (x＋π)＝f (x)＋sin x．当0?x??时，f(x)＝0，则f(113 B． C．0 D．? 22223?17?17?11?11?17?)?f()?sin?f()?sin?sin解析：由题意得f( 6666665?5?11?17?1111?f()?sin?sin?sin?0????
66662222A．
另解：∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，
5π?
又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f??6?＝0，
ππππ1
－＋π?＝f?－?＋sin?－?＝0， ∴f?－?＝， 即f??6??6??6??6?223π??ππ1
4π－?＝f?－?＝.故选A. ∴f?＝f6??6?2?6??
23?)?_______ 6
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