发布时间 : 星期一 文章上财投资学第12章 - 期权（修订稿）习题集和答案更新完毕开始阅读3f3cd527b80d6c85ec3a87c24028915f804d8415
当55Δ＝45Δ－5，即Δ＝－0.50时，6个月后组合价值在两种情况下将相等，均为$－27.5，其现值为：?27.5e?0.10*0.50??$26.16，即： －P＋50Δ＝－26.16
所以，P＝－50×0.5＋26.16＝$1.16 另解：求风险中性概率p
55p?45(1?p)?50e0.10*0.50
所以，p＝0.7564
看跌期权的价值P＝(0*0.7564?5*0.2436)e?0.10*0.50?$1.16 7. 执行价格为$20，3个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权，售价都为$3。无风险年利率为10％，股票现价为$19，预计1个月后发红利$1。请说明对投资者而言，存在什么样的套利机会。
解：因为 P?S0?3?19?22，
而 C?Xe?rt?D?3?20*e?0.10*0.25?1*e?0.10*0.0833?23.50
?rt所以，P?S0?C?Xe看涨期权来进行套利。
?D。因而存在套利机会，可通过买看跌期权，卖空股票及
8. 执行价格为$30，6个月后到期的欧式看涨期权的价格为$2。标的股票的价格为$29，2个月后和5个月后分红利$0.50。期限结构为水平，无风险利率为10％。执行价格为$30，6个月后到期的欧式看跌期权的价格为多少？ 解：由看涨－看跌期权平价公式：C?Xe?rt?D?P?S0,则有：
?rt?D?S0 P?C?Xe =2?30e?0.5*0.10?0.5e?0.1667*0.1?0.5e?0.4167*0.1?29?2.51
所以6个月后到期的欧式看跌期权价格为$2.51
9. 考虑这样一种情况，在某个欧式期权的有效期内，股票价格的运动符合两步二叉树运动
模式。请解释为什么用股票和期权组合的头寸在期权的整个有效期内不可能一直是无风险的。
解：无风险组合可由卖空1份期权及买入Δ份股票构成。但由于Δ在期权的有效期内是会
变化的，因而，无风险组合总是会变化。
所以，用股票和期权组合的头寸不可能是一直无风险的。
10. 某个股票现价为$50。已知在两个月后，股票价格为$53或$48。无风险年利率为10％（连续复利）。请用无套利原理说明，执行价格为$49的两个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？
解：两个月后欧式看涨期权的价值将为$4（当股价为$53）或$0（当股价为$48）。 考虑如下资产组合：＋Δ份股票 －1份看涨期权
则两个月后组合价值将为53Δ－4或48Δ，当
53Δ－4＝48Δ，即Δ＝0.8时，
则两个月后无论股价如何，组合价值将均为38.4。该组合现值为： 0.8×50－f 其中f是期权价值。
因为该资产组合是无风险利率投资，所以有：
(0.8*50-f)e0.10*0.16667?38.4
即： f＝2.23 因此，期权的价值为$2.23。
此外，此题也可直接根据公式（9.2）和（9.3）计算，由题意可得： u?1.06,d?0.96，则：
0.10*0.16667e?0.96 p??0.5681 且 1.06?0.96 f?e?0.10*0.16667*0.5681*4?2.23
七、计算分析题
1. 某个股票现价为$40。有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单位二叉树
的股价或者上涨10％或者下跌10％。无风险年利率为12％（连续复利）。 (A)执行价格为$42的6个月期限的欧式看跌期权的价值为多少？ (B)执行价格为$42的6个月期限的美式看跌期权的价值为多少？
(C)用“试错法”来估算上两题中的期权的执行价格为多高时，立即执行期权是最佳的？ 解：由题意可得，u?1.10,d?0.90
.25erT?de0.12*0?0.90??0.652 则风险中性概率 p? 3u?d1.10?0.90 计算股价二叉树图的结果如下：
44 B 0.810 40 A 2.118 36 C 4.759 48.4 0 39.6 2.4 32.4 9.6 如上图，当到达中间终节点时，期权的损益为42－39.6＝2.4；在最低的节点处，期权的损益为42－32.4＝9.6。
（A）欧式期权的价值为：
(2*2.4*0.6523*0.3477?9.6*0.34772)e?0.12*0.50?2.118 （B）在C节点处，立即执行期权的损益为42－36＝6，大于4.759（多1.205收益）。因此，
美式看跌期权必须在此节点处被执行。
44 B
0
40 A
2.025
36 C
6
因此，美式看跌期权的价值为：
6*0.3477*e?0.12*0.25?2.025
(C) 用“试错法”来估算
（A）假设美式看跌期权的执行价格为$37，计算股价二叉树图的结果如下： 48.4 0.6 44 B 0 40 A 36 C 1.552 39.6 0 32.4 4.6 在此C节点处，立即执行期权的损益为37－36＝4，小于1.552。因此，美式看跌期权
不会在此节点处被执行。
（B）假设美式看跌期权的执行价格为$38，计算股价二叉树图的结果如下：
44 B 0 40 A 36 C 1.890 48.4 0 39.6 0
32.4
5.6
在此C节点处，立即执行期权的损益为38－36＝2，比1.890多0.11收益。因此，美式
看跌期权必须在此节点处被执行。
从以上分析可得，当执行价格高于或等于$38时，提前执行美式看跌期权都是更优的选
择。
2. 某个股票现价为$50。已知在6个月后，股价将变为$60或$42。无风险年利率为12％（连续复利）。计算执行价格为$48，有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少。试计算分析无套利原理和风险中性估价原理能得出相同的答案。
解：6个月后期权的价值为$12（当股价为$60时）或$0（当股价为$42时）。 考虑如下资产组合：
＋Δ份股票 －1份看涨期权 则资产组合价值为60Δ－12或42Δ。 当60Δ－12＝42Δ，即Δ＝0.67时，
6个月后，无论股价如何变化，该资产组合的价值将均为$28；此时组合的Δ
值是无风险的。组合的现值为： 50Δ－f 其中f为期权的价值。
（1）根据无套利原理，该资产组合必须是无风险的，因而有： (50*0.67?f)*e0.12*0.50?28
则有： f＝6.96
（2）根据风险中性估价定理，设p为风险中性条件下股价上升的概率，有： 60p?42(1?p)?50e0.12*0.25 即： p?0.6162
在风险中性世界，期权的期望价值为：
12×0.6162＋0×0.3838＝7.3944 其现值为：
7.3944?6.96
e0.12*0.25 所以，无套利原理与风险中性估价定理的计算结果一致。 3. 有如下四种有价证券组合。画出简图说明投资者收益和损失随最终股票价格的变化情况。 (a)一份股票和一份看涨期权的空头