发布时间 : 星期三 文章小学5-6年级杯赛奥数详解更新完毕开始阅读3f9024ef852458fb770b56e0
21、数字和与最大最小问题
【数字求和】 例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，???，第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数是84。则100个连续自然数是： 35，36，37，???，133，134。
上面的一列数分别取第1、3、5、??、99个数得： 35，37，39，??131，133。 则这50个数的和是：
例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是_____。 （上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得
（1、2、3、??、9），（10、11、12、??、19），（20、21、22、??29），??，（90、91、92、??99），（100）。
容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0，第二组十位上是1，第三组十位上是2，??第十组十位上是9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+??+9）×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。
续若干个数字之和是1992，那么a=____。
（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。
例4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106。那么，原来四个数的平均数是 （1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中
原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。 【最大数与最小数】
例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是
（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。
讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19
要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真
例2 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。问：最小的和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析；因为1+2+3+??+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的
1
例3 把20以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）：
使A是整数。A最大是多少？
（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。 分母分别取2、3、5时，A都不能为整数。当分母取7时，
例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。 （全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）
析：观察自然数1、2、3、4、5、??、25这25个数，发现它们除1之外，每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是1+2+3+??+25=325。 下面考虑数组中各数之和的最小值。
1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成两个数之和的形式，共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、25时，还需取2、3、5。经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、25时，和最小是61。
22、数字串问题
【找规律填数】 例1 找规律填数
（杭州市上城区小学数学竞赛试题）
（1992年武汉市小学数学竞赛试题）
讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。 第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、??（奇数）个数分别
别是4和2。
第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数
得到了
例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合适的数。
2
（1994年天津市小学数学竞赛试题）
讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。 【数列的有关问题】
数是几分之几？
（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5??的分数个数，分别是1、3、5、7、9??。所以，分母分别为1、2、3??9的分数共
例2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，?这个数列的第1993个数是______ （首届《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1，第二、三个数是从1993开始，依次减1排列。
而1993÷3=664余1，可知第1993个数是1。
例3 已知小数0.12345678910111213??9899的小数点后面的数字，是由自然数1—99依次排列而成的。则小数点后面第88位上的数字是______。 （1988年上海市小学数学竞赛试题）
讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：
A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。所以，第88位上是4。 例4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；
几行，自左向右的第几列。（全国第三届“华杯赛”决赛试题）
讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分母之和为3，第三行每个分数的分子与分母之和为4，??即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。
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例5 如图5.4，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，那么第100行各数之和是_______。
（广州市小学数学竞赛试题）
讲析：可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4。故第100行各数之和为100×2＋4=204.
例6 伸出你的左手，从大拇指开始，如图5.5所示的那样数数：l、2、3??。问：数到1991时，会落在哪个手指上？
（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。∵（1991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6个数又从食指开始数，会到中指结束。
例7 如图5.6，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯??问拐第二十个弯处是哪个数？
（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），??。将会发现，每组数中依次相差1、2、3、4、5、??。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、??。从而可推出，拐第二十个弯处的数是111。
例8 自然数按图5.7顺次 排列。数字3排在第二行第一列。问：1993排在第几行第几列？
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