发布时间 : 星期三 文章小学5-6年级杯赛奥数详解更新完毕开始阅读3f9024ef852458fb770b56e0
按一般思考角度，可先求剩下的长度，再求要挖的天数。如果能换一个角度，先求共要挖的天数，再求还要挖的天数，那么解答起来就既简便，又巧妙了： 56÷7-5=8-5 =3（天）
了多少名女队员？”
如按一般的思考角度，应抓住“女队员人数”去寻找解法和答案。可是这在小学的知识范围内，显然有一定困难，题目似乎是无法可解的。但是，只要转换一个角度，从“男队员人数”方面去思考、分析，前景就“柳暗花明了”：
所以男队员人数是
在有的男女队员总数便是
于是，转进来的女队员人数便是 250-240=10（名）
【巧妙替换】 有些应用题，已给的条件常出现两种或更多种不同属性的量，并且在不同量之间存在有换算关系。这时，暂用其中的一种量去替换另一种量，有时候往往会给题目的解答，带来不少方便。例如 “工地用5辆大车和4辆小车一次共运来水泥42.5吨，已知每辆大车比每辆小车多运4吨，每辆大车和每辆小车各运来水泥多少吨？”
题目中有两个未知数，解答起来有一定困难。但运用替换方法，把4辆小车换成大车，题目的解答就变得比较容易：
设每辆小车都多运4吨，那么小车运的吨数就和大车同样多了（也就是将小车都转换为大车了）。这时，4辆小车就会共增加运量 4×4=16（吨）
总共运的吨数就会增加到 42.5＋16=58.5（吨）。
这58.5吨便是（5＋4）辆大车运的水泥数，所以，每辆大车运来的水泥便是 58.5÷（5＋4）=58.5÷9 =6.5（吨）
每辆小车运来的水泥便是 6.5-4＝2.5（吨）
显然，将大车转换为小车（即将小车去替换大车解题），也是可以的。 又如，“买3千克奶糖的钱与买4.8千克水果糖的价钱相等。买4千克巧克力的钱与买6千克奶糖的钱相等。那么，买9千克巧克力的钱可买水果糖多少千克？”
题目的条件中没有具体的钱数，可用替换方法去解。但巧克力与水果糖不能直接替换，需要通过奶糖这一中间的“媒介”去进行替换。 解题方法可以是：
（1）6千克奶糖是3千克奶糖的多少倍？ 6÷3=2（倍）
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（2）6千克奶糖可换多少水果糖？ 4.8×2=9.6（千克）
（3）1千克巧克力的钱可买多少水果糖？ 9.6÷4=2.4（千克）
（4）9千克巧克力的钱可以买多少水果糖？ 2.4×9=21.6（千克） 列成综合算式便是
4.8×（6÷3）÷4×9=4.8×2÷4×9 =9.6÷4×9
=21.6（千克）（答略）
【巧用等量关系】 有些应用题已知条件间的关系比较复杂。但是，如果能从这些复杂的关系中，找到一种合适的等量关系，则常常可使问题较简捷地解答出来。这是一种力求寻找和巧用最佳等量关系的解题方法。例如
“甲乙二人需要做同样多的零件数，甲比乙每天多做5个，乙因病中途休息了3天，所以8天后甲做的零件数刚好是乙做的零件数的2倍。求这时甲乙二人各做的零件个数。” 由题中的条件，可以得到两组等量关系： 甲每天做的个数-乙每天做的个数=5???① 甲8在做的个数=乙8天后做的个数×2???② 设甲每天做x个，则乙每天做（x-5）个； 设乙每天做x个，则甲每天做（x+5）个。
设元列方程以后，若使用等量关系①，很明显，方程的解答是比较繁琐的，因为分数需要通分。于是，我们便选择等量关系②来列方程解题：
设乙每天做零件x个，则甲每天做零件（x＋5）个。于是，有方程 （x+5）×8=2×（8-3）x
进而可知，甲每天做的是 20+5=25（个） 8天后甲做的是 25×8=200（个）， 8天后乙做的是 20×（8-3）=100（个）
（答略）
36名学生到乙校学习，则甲乙两校学生人数相等。甲乙两校原来各有学生多少？” 在题目中，可以找到三组等量关系：
甲校原来人数-乙校后来人数=36????① 甲校原来人数-36=乙校原来人数+36????②
经过比较，利用等量关系①列方程解题，显然比较简便： 设两校共有x人，可得方程为
乙校原有720-396=324（人） （答略）
在利用等量关系解题时，有时候通过“单位1”，可以找到最巧妙的解法。比方下面的这一道工程问题：
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“一项工程，甲独做24天完成，丙独做40天完成，甲、乙、丙三人合做，10天可以完成。这项工程如果由乙来独做，多少天可以完成？”
在题目条件中，我们可以得到下面的两组等量关系： 乙工效=三人工效和-（甲+乙）的工效????① 乙工效×工时=工作总量??????????② 然后，通过巧用“单位1”，还可找到更好的办法：
设乙独做，x天可以完成。若把整个工程看作“单位1”，那么乙每天
所以，其解答就比较简便、快速而巧妙了： 设乙单独做，x天可以完成，则有
即乙独做30天可以完成。（答略）
【巧用直觉思维】 有些题目的条件和结构比较特殊，常常不需要把全部条件用于计算解题，而只要根据其特殊性，经过一次或两次计算，就能将题目解答出来。这是“巧用直觉思维”的解法。例如
“从同一个地点步行到火车站，甲要40分钟，乙要30分钟。甲比乙先走5分钟，乙出发后，要走多少分钟才能追上甲？”
若巧用直觉思维解答，可以这样去思考、解答：
甲先走5分钟，他比乙会晚到火车站5分钟。那么，追及时，应是乙在路程的中心点追上，故可直接用30÷2=15（分钟），求得题目的答案。（答略）
又如，“工厂运来一批煤，计划每天烧3吨，可以烧12天。实际上每天比原计划节约0.6吨，实际上比原计划可多烧多少天？”
巧用直觉思维，可以这样思考：实际每天节约煤0.6吨，相当于实际每
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再如，“有一只底面半径为30厘米的圆柱形水桶，桶中有一段半径为10厘米的圆柱形钢材浸没在水中。当钢材从水桶中取出时，桶里的水下降了5厘米。这段钢材有多长？”
按一般方法解，必须先求钢材的体积（即下降的水的体积），再求钢材底面积，然后求钢材的长。这是很麻烦、很费时的。若用直觉思维思考、解答，可以设想一下钢材底面积同水面积的关系，再找出钢材长与水面下降部分的关系，便可不用求积，而直接求出钢材的长度：
根据水面半径30厘米和钢材底面半径10厘米，可知它们的关系是：钢
妙的解答方法：
5×9=45（厘米） （答略）
【巧妙放缩】 有些应用题，由于条件和问题的特殊情况，从直接给出的已知条件中不容易找到简捷的解题途径。这时，我们不妨把某一个已知条件扩大或缩小一定的倍数，促使其他条件相应地发生变化，由此往往能找到简单的解法。例如
“5千克大米的价钱相当于0.8千克食油的价钱，如果2元钱可买2.5千克大米，那么8元钱可买多少千克食油？”
按一般方法解答，需要先求出5千克大米的价钱是多少，再求出0.8千克食油的价钱，然后求出每千克食油的价钱，进而才可求出8元钱可买的食油的数量。
若采用“放缩方法”，可把其中一个条件放大几倍来思考：将2元钱买2.5千克大米这一条件放大4倍，可知8元钱可买10千克大米。因为5千克大米的价钱相当于0.8千克食油的价钱，所以，10千克大米的价钱可买食油0.8×2=1.6（千克），即8元钱可买食油1.6千克。（答略）
有些典型应用题，也可以用“放缩方法”去解答，从而较快、较巧妙地找出它的答案。例如 “鸡兔同笼，共头48个，共足114只。问：鸡兔各有多少只？”
如果把鸡和兔的足数缩小2倍，则鸡的足数和头数相等，兔的足数为头数的2倍。这时，鸡和兔的总足数与总头数（总只数）的差数，就是兔子的只数，故可这样解答： 114÷2-48=9（只）?????兔数
48-9=39（只）???????鸡数 （答略）
上面两例，是单纯用放大，或单纯用缩小的办法解答的。但有些较复杂的应用题，就既要用“放大法”，又需用“缩小法”，才能使问题正确而快速地解答出来。 例如
“甲乙两个商店去年平均每月的利润，甲店比乙店多5万元。已知甲店
元？”
根据这一新条件解题，还难很快发现其数量关系，这时不妨把这个条件再缩小2倍，于是得到
这样得到的新条件中，就可以清楚地看出，甲店比乙店每月多的5万元，也就是甲店比乙店多的那个
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于是，甲店每月的利润数便是
乙店每月的利润数便是
6.25-5=1.25（万元） （答略）
还有比这更复杂一些的问题，可结合其他解法来运用“放缩方法”，使问题得到解答。例如下面的这道英国名题——“第三牧场的牛数问题（实际上也是个牛顿问题）”：
“有三个牧场，场上的牧草长得同样的茂盛和同样的快，它的面积分别
二牧场饲养21头牛，可维持9个星期。假若第三牧场饲养的牛，在该场要维持18个星期，那么，这牧场应养牛多少头？”（注：草料是边吃边生长的。）
按照“牛顿问题”的解法来死套，是很难找到解法的。不过，当我们运用“放缩法”，假定三个牧场面积同样大，这一道在三个牧场牧牛群的复杂题目，就会变成在同一牧场牧牛群的简单题目了。这是因为题目中已交代：三牧场牧草同样的茂盛，并且长得同样的快。
倍数），则
第一牧场可以有牛
第二牧场可以有牛
21×（120÷10）=252（头）（仍是9个星期可以吃完） 那么，第三牧场是多少头牛18个星期可以吃完呢？
这一道用放大了的假定数据编成的题目，还可以改编成一道与它同解的应用题：
“有一个牧场，养牛432头，4个星期可以吃完全部草料。若养牛252头，则9个星期可以吃完全部草料。如果要在18个星期内吃完这牧场里的全部草料，那么，它应该养牛多少头呢？（草料是边吃边生长的）” 这是一道简单点的“牛顿问题”，可用“牛顿问题”的解法解答如下： 因为432头牛4星期吃的草料，等于432×4=1728（头牛一星期吃的草料） 252头牛9星期吃的草料，等于
252×9=2268（头牛一星期吃的草料） 而4星期吃完与9星期吃完，要相差 2268-1728=540（头牛一星期吃的草料） 显然，这多出的草料，是 9-4=5（个星期）
之内新长出的草料。所以，牧场一个星期长出的草料是 540÷5=108（头牛一星期吃的草料） 因此，这牧场最初有的草料是
（432-108）×4=1296（头牛吃一星期的草料）
现在，这1296头牛吃一星期的草料，要求能维持18个月，则能饲养的牛数就只能是 1296÷18=72（头）
但这牧场的草料是不断生长的，还必须用108头牛来吃掉每个星期新长出的草料，所以，能饲养的牛数总共是
72＋108=180（头）
不过，这还只是假定这牧场为120英亩所得的结果。实际上第三牧场面积只有24英亩，比假定数缩小了 120÷24=5（倍）
故第三牧场饲养的牛数，也应比这180头缩小5倍。于是可知，第三牧场饲养的牛数便是 180÷5=36（头） （答略）
这道题的解答，显然是得益于“放缩方法”，将复杂题转化为基本题以后，才找到其解答的。
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