发布时间 : 星期四 文章2019届高考数学总复习模块五解析几何第16讲圆锥曲线中的最值范围证明问题学案理更新完毕开始阅读4005ef9330126edb6f1aff00bed5b9f3f90f72ff
第16讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.[2018·全国卷Ⅰ]设椭圆C:2+y=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. [试做]
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2.[2016·全国卷Ⅱ]已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直
2 2 线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围. [试做]
3.[201 ·全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:2+ =1(a>b>0)右焦点的直线x+y- =0 2交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为2. (1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值. [试做]
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命题角度 圆锥曲线中的证明、范围与最值问题
(1)解析几何证明题综合性较强,一般涉及位置关系、范围、定值、定点等,常用方法为:
①证明两直线平行或垂直的方法:
a.若两直线的斜率均存在且两直线不重合,则一定有l1∥l2?k1=k2; b.若两直线斜率均存在,则一定有l1⊥l2?k1·k2=-1.
②解决直线与圆锥曲线位置关系的证明问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,得到一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程(组),解决问题.
(2)求解范围问题的常见方法:
①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关
系;
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域求范围.
(3)求圆锥曲线面积的最值问题的方法:
①转化为面积与某参量的函数,利用函数的性质求最值; ②得到关于面积的关系式后,利用基本不等式或求导求最值; ③结合圆锥曲线的几何性质求最值.
解答1最值问题
1 已知P为椭圆C:+=1长轴上的一个动点,过点P的直线l与C交于M,N两点,点M在第
2 2 一象限,且3 + = 0.
(1)若点N为C的下顶点,求点P的坐标;
(2)若O为坐标原点,当△OMN的面积最大时,求点P的坐标. [听课笔记]
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【考场点拨】
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键:
(1)公式意识,把求三角形的面积转化为求距离、求角等; (2)方程思想,即引入参数,寻找关于参数的方程;
(3)不等式意识,寻找关于参数的不等式,利用基本不等式等求最值. 【自我检测】
已知抛物线C:y=-x,点A,B在抛物线上,且横坐标分别为-2,2,点P在曲线段AB上(不包括点
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A,B),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(1)求直线AP的斜率k的取值范围; (2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解答2范围问题
2 已知椭圆E:2+ =1(a>b>0)的焦距为2c,且b= c,圆O:x+y=r(r>0)与x轴交于点M,N,P 2为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,△PMN面积的最大值为 . (1)求圆O与椭圆E的方程;
(2)设圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围. [听课笔记]
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【考场点拨】
圆锥曲线的范围问题的常见解法:
(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;
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(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等,则可利用这些关系去求参数的范围. 【自我检测】
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+ = .已知抛物线y=4x的焦点为F,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且
(1)求B,C两点的纵坐标之积; · (2)设λ= , 求λ的取值范围.
解答3证明问题
3 已知椭圆G: + =1的左焦点为F,左顶点为A,离心率为e,点M(t,0)(t<-2)满足条件 =e. (1)求实数t的值;
(2)设过点F的直线l与椭圆G交于P,Q两点,记△MPF和△MQF的面积分别为S1,S2,证明:1=
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[听课笔记]
【考场点拨】
圆锥曲线的证明问题,常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等,一般是以直线
与圆锥曲线为载体,综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证. 【自我检测】
已知点A -, 0 是抛物线C:x=2py 上一点,且A到抛物线C的焦点的距离为.
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(1)求抛物线C的方程;
(2)若P是C上一动点,且P不在直线l:y=2x+9y0上,l交C于A,F两点,过P作直线垂直于x轴且交l于点M,过P作l的垂线,垂足为N,证明: =|AF|.
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