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立体几何考试要点复习
考点一：位置关系
1、线共点、点共线问题
⑴点共线：证明几点为两个面的公共点
⑵线共点：先证两线共点A，再证A在第三线上 2、平行
⑴线线平行：①证直线同时平行第三直线
②证直线同时垂直同一平面
③利用直线与平面平行的性质定理：购造平面?,?，l??,m??，????l只需
证明m//?即可
⑵线面平行：①证明直线平行于平面内一条直线
②证明直线所在的平面平行于另一个平面
⑶面面平行：证明平面内两相交直线同时平行于另一平面 3、垂直
⑴线线垂直：①转化成线面垂直，再通过线垂直于面内所有直线得到 ⑵线面垂直：①线垂直于面内的两条相交直线
②转化到面面垂直
⑶面面垂直：证明面过另一面的垂线
考点二：距离
1、线到线的距离：①共垂线段
②转化到面与面的距离
2、点到面的距离：①等体积法 （例如求P到面ABC的距离d，考虑在锥体P?ABC中，算出
1VA?PBC，已知VP?ABC?VA?PBC,根据锥体体积公式VP?ABC?S?ABC?d即得距离d）
3②转化到平行线上的点到面的距离
3、面到面的距离：转化到点到面的距离
考点三：角
1、异面直线所成的角：①通过平移一条或两条异面直线，得到异面直线所成的平面角，
②在三角形中求角
2、直线与面所成的角：在三角形中求角（a、过直线上的点作平面的射影；b、找出垂线段、斜线段、射影；c、任意求出两条线段的长度；d、垂线段可以转化为点到面的距离，也可以通过平行线上的点到面的距离）
3、二面角：①找到二面角的平面角
②在三角形中求角
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考点四：空间向量解立体几何
使用条件：在空间图形中较容易的找到三条直线两两垂直（如正方体、长方体、三棱锥P?ABC中
AB?BC,PB?面ABC、底面为直角三角形的三棱柱、正三棱柱等）
一、位置关系
1、线线平行：证明直线AB//CD,就是证明AB//CD。⑴写出A,B,C,D坐标；⑵用坐标表示出
??AB，CD，⑶证明存在不为零的实数?使得AB??CD,即证两直线平行
2、线面平行：证明直线AB//面?。⑴用坐标表示向量AB；⑵求出平面?的法向量n;⑶证明
???????n?AB,线面平行即证
???3、线面垂直：证明直线AB?面?。⑴用坐标表示向量AB；⑵求出平面?的法向量n；⑶证明
?n//AB即可。
?????4、面面平行：证明平面?//面?。⑴先求出平面?,?的法向量n,m；⑵再证明n,m平行即可。
二、空间中所成的角
1、异面直线所成的角：求异面直线AB,CD所成的角。⑴用坐标表示向量AB，CD；⑵设AB,CD的夹角为?，⑶cos?=????AB?CDAB?CD???。（注意： cos?若大于0则直线AB,CD所成角为?；若小于
0，则直线AB,CD所成角为?-?）。
2、直线与平面所成的角：求直线AB与面?所成的角。⑴用坐标表示向量AB；⑵求出平面?的
??法向量n；⑶设向量n与AB所成的角为?，cos?=???n?AB???，直线AB与面?所成的角 ?与直
AB?n线与法向量所成的锐角?互余。
3、平面与平面所成的角：求面?与面?所成的角。⑴先求出平面?,?的法向量n,m；⑵设向量
??????n,m所成的角为?，cos?=n?m??。（注意： cos?若大于0则面?与面?所成的角为?；若小
m?n于0，则面?与面?所成的角为?-?）。
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三、运用空间坐标解立体几何中常见问题
例1、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别为棱B1C1,B1B的中点。 ① 异面直线AE,FC所成的角； ② 求证：CF?面ABE；
③ 直线AE与面BCC1B1所成的角； ④ 面ABE与面BCC1B1所成的角
解：分别以向量所在的直线AB,AC,AA1为x,y,z轴，如图所示,设正方体的边长为1 。
???B1FA1EC1D1ABCD11A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，F(1,0,),E(1,,1),B1(1,0,1)C1(1,1,1)
22uuuruuur11?AE?(1,,1),FC?(0,1,?)
2211uuuruuur1?0??1?(??1)AE?FC22=0 ① 向量AE,FC所成的角?的余弦值为uuuruuur?11AE?FC12?()2?1102?12?(-)222即?=90
o?直线AE,FC所成的角为直角。
平面法向量的求法： ruuur② 法一：设面ABE的法向量为n=(x,y,z)，AB?(1,0,0), ruuurruuurQn?AB,n?AE （法向量垂直于平面内所有的直线） ?x?1+y?0+z?0=0???? ?x=0,y=2z 令z=1，则n=(0,2,1) 1x?1+y?+z?1=0??2uuurruuurr?FC?2n ?FCPn ? CF?面ABE uuur法二：AB?(1,0,0) ， uuuruuuruuuruuurQFC?AB?0,FC?AE?0,
3
?FC?AB,FC?AE
又QAE?AB?B
? CF?面ABE
uuurur1③ 易得面BCC1B1的一法向量面m=(1,0,0)，AE?(1,,1)
2uruuurruruuum?AE2m与AE所成角?的余弦值为uruuur?
m?AE32? ??arccos （直线与面所成的角?与直线与法向量所成的锐角?互余）
3??直线AE与面BCC1B1所成的角?=-?
2ur?④ 法一、面BCC1B1的一法向量面m=(1,0,0) 面ABE的法向量n=(0,2,1)
rururrn?mm与n所成角?的余弦值为rur=0
n?mrur?n?m
?面ABE与面BCC1B1所成的角为90o。
法二、（直线垂直于面?内的两条相交直线，则直线垂直于面?，经过面的垂线的面?与面?垂直。）
五、补充：
1、公理1：过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 推论1：过直线和直线外一点有且只有一个平面。 推论2：过两条平行线有且只有一个平面。 推论3：过两条相交直线有且只有一个平面
2、三垂线定理：垂直斜线，垂直射影；垂直射影，垂直斜线。
3、射影定理：平面外一点引平面的斜线，斜线段越长，射影越长；射影越长，斜线越长。 4、三余弦定理：
例1、平面?内的?MON?60?，PO是?的斜线，PO=3，?POM??PON?45?,那么点P到平面?的距离是 （ ） A、3 B、3333 C、 D、 423解：PA?面?
由三余弦定理的cos?POA?cos?AON?cos?PON
cos?POA?cos30??cos45? co?sPOA?RT?POA中PO?3?OA?6?PA?3
4
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