发布时间 : 星期三 文章《大高考》2016届高考复习数学理 五年高考真题 第九章 平面解析几何 第五节更新完毕开始阅读41f36f5ca0116c175f0e48fe
第五节 抛物线及其性质
考点一 抛物线的定义及方程
1．(2013·新课标全国Ⅱ，11)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x
B．y2＝2x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝16x
p
解析 设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋2＝5，则x0p＝5－2.
?p?
又点F的坐标为?2，0?，
??
?p?所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)?x－2?＋(y－y0)y＝0.
??将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0， y20
即2－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
p??5－?由y2＝2px，得16＝2p， 002???解之得p＝2，或p＝8.
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C. 答案 C
2．(2012·安徽，9)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( ) 2
A.2
B.2
32C.2
D．22
解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2. ∴A点坐标为(2，22)，则直线AB的斜率 k＝
22－0
＝22. 2－1
∴直线AB的方程为y＝22(x－1)，
即为22x－y－22＝0， 22
则点O到该直线的距离为d＝3.
2
?y＝4x，由? y＝22（x－1），?
消去y得，2x2－5x＋2＝0，
13解得x1＝2，x2＝2.∴|BF|＝x2＋1＝2， 391
∴|AB|＝3＋2＝2.∴S△AOB＝2|AB|·d 192232＝2×2×3＝2. 答案 C
3．(2011·陕西，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x C．y2＝－4x
B．y2＝8x D．y2＝4x
p解析 由抛物线的准线方程为x＝－2知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，2＝2?p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x，故选B. 答案 B
4．(2015·陕西，14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
p
解析 由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±2，0)，故应有2＝2，p＝22. 答案 22
5．(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a ＝2px(p>0)经过C，F两点，则a＝________． 解析 由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定 ?p? 义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D?2，0?， ?? ?p??p? F?2＋b，b?，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p?2＋b?＝a2＋2ab，变???? bbb?b?22b 形得?a?－a－1＝0，解得a＝1＋2或a＝1－2(舍去)，所以a＝1＋2. ??答案 1＋2 6．(2014·大纲全国，21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y5 轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝4|PQ|. (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 88pp8解 (1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝p.所以|PQ|＝p，|QF|＝2＋x0＝2＋p. p858 由题设得2＋p＝4×p，解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程为y2＝4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)． 1 又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－my＋2m2＋3. 4 将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋my－4(2m2＋3)＝0. 设M(x3，y3)、N(x4，y4)， 4 则y3＋y4＝－m，y3y4＝－4(2m2＋3)． 2??2 故MN的中点为E?m2＋2m2＋3，－m?， ??1 |MN|＝1＋m2|y3－y4| 4（m2＋1）2m2＋1＝. m21 由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝2|MN|， 11 从而4|AB|2＋|DE|2＝4|MN|2，即 2?2?2??2 4(m＋1)＋?2m＋m?＋?m2＋2? ???? 2 2 4（m2＋1）2（2m2＋1） ＝. m4化简得m2－1＝0， 解得m＝1或m＝－1. 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 7．(2013·广东，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：32 x－y－2＝0的距离为2.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． (1)求抛物线C的方程； (2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 解 (1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy(c>0)，由 |0－c－2|32 ＝2，结合c>0，解得c＝1. 2∴抛物线C的方程为x2＝4y. 1 (2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝4x2， 1 求导得y′＝2x， x2x212 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝4，y2＝4)， 11 则切线PA，PB的斜率分别为2x1，2x2， x1∴切线PA的方程为y－y1＝2(x－x1)， x1x21即y＝2x－2＋y1， 即x1x－2y－2y1＝0. 同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0. ∵切线PA，PB均过点P(x0，y0)，