发布时间 : 星期四 文章常微分复习题目更新完毕开始阅读426917cb05087632311212e6
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D．
dxdy??0 yx10、（ ）是一阶线性微分方程。 A．x2y??y
B．y??y2 C．y??1?x yD． y??ey
11、微分方程y???2y??8y?0的通解为 （ ）
A．y?c1e4x?c2e?2x B．y?c1e?4x?c2e2x C．y?c1e4x?e?2x?c2 D． y?3e?4x?e2x 12、微分方程y???y?0的满足初始条件yx?0?1,y?x?0?2的特解为 （ ） A．y?cosx?sinx B．y?cosx?2sinx C．y?x?2x?1 D． y?c1cosx?c2sinx
2???dx??x?y?1??dt 13、线性方程组?的奇点是
?dy?2x?7y?19??dtA．（0，0） B. ???47?,? C. (1,1) D. (0,1) 33??14、矩阵??29??的特征值有 ?12?A．5，-1 B. -5，1 C. -5，-1 D. 5，1
22t15、对于非齐次微分方程x''?3x'?4x?f(t)，设f(t)?(t?t?1)e，其中
a0,......,an为常数，那么方程有形如（ ）的特解。
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22t22tA．a0t?a1t?a2e B. ta0t?a1t?a2e C. ?a0t?a1?e2t D.
?????at02?a1t?a2?et
三、（本题20分）求下列各微分方程的通解或在初始条件下的特解（一阶） 16、(xy?1)ydx?xdy?0; 17、
dyyy??cos2,y?1??0 dxxx四、（本题15分）解方程组
?dx?dxt?x?2y?x?2y?e???dt?dt18、设齐次方程组 ?及非齐次方程组 ?
dydy??4x?3y??4x?3y???dt?dt（1）求齐次方程组的基矩阵；
（2）求齐次方程组满足?(0)??的解?(t)；
（3）求非齐次方程组满足初值条件（x(0),y(0)）=(0,1)的解（x(t),y(t)）.
五、（本题10分）求下列微分方程（高阶）（19，20和21中选作一题，做对得10分）
19、y???2y??y?e
20、y???3y??4y?0,yx?0?0,y?x?0??5
2t?x???2x?2y?2x221、分析方程组?的零解的渐近稳定定性. 2?y'??2x?y?2y六、证明题（本题10分）
22．设a0(t),......,an(t),f(t) (?0)分别为在区间[a,b]上的连续函数，证明： （1）n阶微分方程x(n)?a0(t)x(n?1)?......?an(t)x?f(t)有n+1个线性无关的解；
（2）方程的任意n+2个解必线性相关。 一、填空（每空3分） 1、方程(dy2dy)?x?3y2?0是_____________阶微分方程。 dxdx6
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2、如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希兹条件，则方程
2dy?f(x,y)存dx在唯一的解y??(x)，定义于区间x?x0?h上，连续且满足初始条件?(x0)?y0，其中h? ，M?maxf(x,y)。
(x,y)?R3、若xi(t)(i?1，2，……，n)是齐线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。
4、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有关系 。
5、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是 。
6、n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
7、方程y???xy??x2y?0的等价方程组是 ．
二、选择题（每小题3分）
??x?0的任一非零解有（ ）零点． x8、方程?（A）有无穷多个 （B）只有两个 （C）只有一个 （D）无
2dy?3y3过点(0,0)的解（ ）9. 方程． dx （A）只有一个 （B）只有两个 （C）有无数个 （D） 只有三个 10、（ ）是一阶线性微分方程。 A．xy??y2
B．y??y2 C．y??1?x yD． y??e 11、方程
ydy． ?x2cosy的所有常数解是（ ）
dx 7
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（A）y?0 （B）y??2 （C）y?3? （D）2y??2?k?,k?0,?1,?2,?
12、（ ）不是变量可分离微分方程。 A．y??1?y1?x B．y??y?xdxdy C．y2dx?x2dy?0 D． ??0 y?1yx?dx??2x?y?1??dt13、线性方程组?的奇点是
?dy?2x?7y?15??dtA．（0，0） B. ???1?,2? C. (1,1) D. (0,1) 2??14、矩阵??12??的特征值有 ?21?A．3，-1 B. -3，1 C. -3，-1 D. 3，1
22t15、对于非齐次微分方程x''?5x'?6x?f(t)，设f(t)?(t?t?1)e，其中
a0,......,an为常数，那么方程有形如（ ）的特解。
22t22t2tA．a0t?a1t?a2e B. ta0t?a1t?a2e C. ?a0t?a1?e D.
?????at02?a1t?a2?et
三、计算（20分）求下列各微分方程的通解（一阶） 16、xdy?(y?xy)dx?0。 17、xy??xtan24y?y?0 x四、（本题15分）解方程组
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?dx?dxt?x?4y?x?4y?e???dt?dt18、设齐次方程组 ?及非齐次方程组 ?
dydy??2x?3y??2x?3y???dt?dt（1）求齐次方程组的基矩阵；
（2）求齐次方程组满足?(0)??的解?(t)；
（3）求非齐次方程组满足初值条件（x(0),y(0)）=(0,1)的解（x(t),y(t)）.
五、（本题10分）求解下列微分方程（高阶）（19，20和21中选作一题，做对得10分）
19、求解方程x?4x?4x?e?e'''t2t?1
20、y???4y??5y?0,yx?0?0,y?x?0??6
?x???x?2y?x221、分析方程组?的零解的渐近稳定定性. 2?y'??2x?3y?y六、证明（本题10分）
22、设A(t),f(t) (?0)分别为在区间[a,b]上连续的n?n矩阵和n维列向量，证明：
（1）方程组X'?A(t)X?f(t)有n+1个线性无关的解； （2）方程组的任意n+2个解必线性相关。
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