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10级《初等数论》考试要求（11年6月）
掌握整除的各种概念；能熟练运用带余除法、和、差、积的整除性定理、余数的整除性定理及奇偶性分析等解决实际问题。
掌握最大公约数、最小公倍数的性质和互质数的性质，能熟练用辗转相除法求最大公约数和最小公倍数及其它们应用。 掌握素数与合数的定义和性质；理解素数的个数及其的分布情况，掌握素数的判别方法。 掌握算术基本定理和整数的标准分解式；能熟练计算已知整数的约数的个数与所有约数 掌握二元及多元不定方程有整数解的特征及其它们的解法；能熟练解二元和多元不定方程（组）及其它们的应用。
会解一些特殊的非一次型不定方程；理解勾股数的概念、费马问题、无限递降法。掌握基本勾股数的求法。
掌握同余的概念和性质、常用整数整除的判别法；能熟练用数的整除特征解应用题。 理解一次同余式概念和一次同余式解的存在性定理以及一次同余式解的个数；熟练掌握一次同余式的解法①用辗转相除法②系数消去法和不定方程的同余式解法。
理解一次同余式组及孙子定理（中国剩余定理）；熟练掌握一次同余式组的解法及其它们的应用。
10级本科《初等数论》 练习题
一、填充题：（每空格2分,共20分）
1．分母是12，分数值小于1的最简正分数有 4 ，它们的和是 2 。 2．一个数为12的一组基本勾股数是 5，12，13
3．一个数除以3和11的余数分别为2和1，则这个数除以33的余数是 23 。 4．若自然数N的约数有9个，则N的最小值是 36 。
5．同时能被2，3，5整除的形如8a3b的一个四位数是 8130，8430，8730 。 6．(2000!)2的末尾有 998 零。 7． 313159被7除余数是 6 。
8．若x≡4(mod7),y≡2(mod7)，则对模7，与(x+y)同余的整数是 6+7t,t∈Z 。 9．同余式组x≡9（mod 15），x≡2（mod 6）的解是 无解 。
二、计算题：（每题6 分，共 30 分） 1．求286，242，594的最大公约数。（22）
?x?t?5x?7y?2z?24?2．求不定方程组?的整数解。（?y?4?tu,v?Z?3x?y?4z?4?z?t?2??x?60000?15v?8u?3．求方程9x?24y?5z?1000的整数解。(?y??2000?5v?3uu,v?Z?z?1000?3v?4．求方程3x2?7xy?2x?5y?35?0的正整数解。（1，17），（2，3）
）
)
5．解联立同余式组：??2x?3y?4(mod7)(1)，[x≡0(mod7)，y≡6(mod7)]
?3x?2y?2(mod7)(2)
三、应用题：（每题8 分，共 24 分）
1．有两个容器，一个容量是7升，一个容量是5升，如何利用这两个容器从一桶油中倒出5升油来？（3，2）
2．甲、乙、丙三齿轮，相互齿吻合，它们的齿轮齿数分别为72，84，60，问三齿轮初始位置转动到下一个和初始位置一致时，三个齿轮分别转了多少圈？（35，30，42） (提示：三个数的最小公倍数就表示共要转的齿数，[72，84，60]=2520) 3．七数余一，八数余一，九数余三，问本数。（57）
四．证明题:（第1，2题，每题8分，第3题10分，共 26 分） 1．如果(m?p)|(mn?pq)，那么 (m?p)|(mq?np)。 2．求证：求证：若f(n)?8n?2?92n?1，则73|f(n),n?N
3．证明：边长为整数的直角三角形的两条直角边长至少有一个是3的倍数。