发布时间 : 星期四 文章安徽省合肥五十四中2016届九年级数学上学期期末考试试题（含解析） 新人教版更新完毕开始阅读4292275569dc5022abea0048
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】（1）由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断：△COD是等边三角形；
（2）由（1）可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC﹣∠CDO，可判断△AOD为直角三角形． 【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴∠OCD=60°，CO=CD， ∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD为直角三角形． 理由：∵△COD是等边三角形． ∴∠ODC=60°，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD是直角三角形．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是利用旋转前后，对应边相等，对应角相等解题． 六、（本题满分12分）
21．如图，△OBC为等边三角形，AD∥BC，AD=3，BC=7，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E． （1）求证：△APB∽△PEC； （2）求AB的长；
（3）若CE=3，求BP的长．
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【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）由△OBC为等边三角形，可得∠B=∠C，又由∠APE=∠B，利用三角形外角的性质，可证得∠BAP=∠EPC，即可证得：△APB∽△PEC；
（2）由△OBC为等边三角形，AD∥BC，易得△OAD是等边三角形，继而求得AB的长；
（3）首先设BP=x，然后由△APB∽△PEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵△OBC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，
∵∠APE+∠CPE=∠B+∠BAP，∠APE=∠B， ∴∠BAP=∠CPE， ∴△APB∽△PEC；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠B=60°，∠ODA=∠C=60°， ∴△OAD是等边三角形， ∴OA=AD=3，
∵△OBC为等边三角形， ∴OB=BC=7， ∴AB=OB﹣OA=4；
（3）解：设BP=x，则CP=BC﹣BP=7﹣x， ∵△APB∽△PEC， ∴
，
∴，
解得：x1=3，x2=4， ∴BP=3或4．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键． 七、（本题满分12分）
22．周末，小明、小刚两人同时各自从家沿直线匀速步行到科技馆参加科技创新活动，小明家、小刚家、科技馆在一条直线上．已知小明到达科技馆花了20分钟．设两人出发x（分钟）后，小明离小刚家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示．
（1）小明的速度为 60 米/分钟，a= 960 ，小明家离科技馆的距离为 1200 米； （2）已知小刚的步行速度是40米/分钟，设小刚步行时与家的距离为y（，请在图中画出y（1米）1米）
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与x（分钟 ）的函数图象；
（3）小刚出发几分钟后两人在途中相遇？
【考点】一次函数的应用． 【专题】压轴题；数形结合． 【分析】（1）根据图象可求得小明的速度v1，便可得出a的值以及小明家离科技馆的距离；（2）根据小刚步行时的速度和小刚家离科技馆的距离，可求出解析式并画出图象； （3）两人离科技馆的距离相等时相遇，列出方程可求出答案． 【解答】解：（1）根据图象可知小明4分钟走过的路程为240m， 列出解析式：s1=v1x， 代入可得240=4v1， 解得v1=60米/分钟，
即小明速度是60米/分钟，
根据图象可知小明又走了16分钟到达科技馆， 可得a=16v1，
代入v1，可得a=960m，
据题意小明到科技馆共用20分钟， 可得出小明家离科技馆的距离s2=v1x2， 解得：s2=60×20=1200m，
故小明家离科技馆的距离为1200m；
（2）列出解析式：y1=40x，
由（1）可知小刚离科技馆的距离为a=960m， 代入可得960=40x， 解得：x=24分钟， 作出图象如下：
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（3）两人离科技馆的距离相等时相遇，
当x≥4时，小明所走路程y与x的函数关系式为y=60x﹣240， 则60x﹣240=40x， 解得：x=12，
即小刚出发12分钟后两人相遇．
【点评】本题考查了一次函数的应用，有一定难度，解答本题的关键是仔细审题，同学们注意培养自己的读图能力． 八、（本题满分14分） 23．阅读下面材料：
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图1，平行四边形
ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”．
请解决下列问题：
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；
（2）若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”，若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有 2 个；
（3）若△ABC是锐角三角形，且AB＜AC＜BC，如图2，请画出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由． 【考点】矩形的性质；平行四边形的性质． 【专题】阅读型． 【分析】（1）类似“友好平行四边形”的定义，即可写出“友好矩形”的定义：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”；
（2）根据定义，则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边，过第三个顶点作它的对边，从
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而画出矩形；
（3）分别以三角形的一边当矩形的另一边，过第三个顶点作矩形的对边，从而画出矩形，根据三角形和矩形的面积公式，可知三个矩形的面积相等，设矩形的面积是S，三角形的三条边分别是a，b，c．根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边，进一步求得其周长，运用求差法比较它们的周长的大小． 【解答】解：（1）三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上．
（2）如图1，此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAF、矩形ABHK、矩形ABED，故答案为：2．
（3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，
其中的矩形ABHK的周长最小，
理由如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3， △ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则： L1=
+2a，L2=
+2b，L3=
+2c，
∴L1﹣L2=（+2a）﹣（+2b）=﹣（a﹣b）+2（a﹣b）=2（a﹣b）?，
而ab＞S，a＞b，
∴L1﹣L2＞0，即L1＞L2， 同理可得，L2＞L3，
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．
【点评】本题考查了有关阅读问题的应用，理解该题中的新定义，能够根据定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用求差法比较数的大小．
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