发布时间 : 星期六 文章[世纪金榜]人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：专项强化训练（一）导数的综合应用更新完毕开始阅读42cfb8fc58fafab068dc0266
专项强化训练(一)
导数的综合应用
1.(2014·汕头模拟)某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x<9)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.
(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数. (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
【解题提示】(1)先写出多卖的商品数,则可计算出商品在一个星期的获利数,再依题意“商品单价降低1元时,一星期多卖出5件”求出比例系数,即可把一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)根据(1)中得到的函数,利用导数研究其极值,也就是求出函数的极大值,从而得出定价为多少元时,能使一个星期的商品销售利润最大. 【解析】(1)依题意,设m=kx2,由已知得5=k·12, 从而k=5,所以m=5x2, 所以y=(14-x-5)(75+5x2) =-5x3+45x2-75x+675(0≤x<9).
(2)因为y′=-15x2+90x-75=-15(x-1)(x-5), 由y′>0得1 由y′<0得0≤x<1或5 可知函数y在[0,1)上递减,在(1,5)上递增,在(5,9)上递减,从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5, - 1 - 因为y(0)=675,y(5)=800, 所以当x=5时,ymax=800, 答:商品每件定价为9元时,可使一个星期的商品销售利润最大. 【加固训练】(2015·湖南四校联考)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格). (1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量. (2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额为y=0.002t2(元),在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格s是多少? 【解析】(1)工厂的实际年利润为: w=2000w=2000当t= -st(t≥0). -st=-s + , .若工厂每 时,w取得最大值. (吨). 所以工厂取得最大年利润的年产量t=(2)设农场净收入为v元,则v=st-0.002t2. 将t=得:v=又v′=- 代入上式, -+ . = , - 2 - 令v′=0,得s=20. 当s<20时,v′>0;当s>20时,v′<0, 所以s=20时,v取得最大值. 因此李明向张林要求赔付价格s=20(元)时,获最大净收入. 2.(2015·长春模拟)已知函数f(x)=1-(1)证明:g(x)≥1. (2)证明:(x-lnx)f(x)>1-. 【证明】(1)g′(x)= , ,g(x)=x-lnx. 当0 , 所以0 上的最大值. 其中a∈R. (2)当a>0时,若x∈[1,+∞),f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-2,x∈[e,e2]时,f(x)=x2-2lnx+2, - 3 - 因为f′(x)=2x-,所以当x∈[e,e2]时,f′(x)>0, 所以函数f(x)=x2-2lnx+2在[e,e2]上是增加的, 故f(x)max=f(e2)=(e2)2-2lne2+2=e4-2. (2)①当x≥e时,f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+, 因为a>0,f′(x)>0, 所以f(x)在[e,+≦)上是增加的, 故当x=e时,f(x)min=f(e)=e2; ②当1≤x , ≤1,即0 当x=1时,f(x)min=f(1)=1+a,且此时f(1) ≤e,即2 =-ln,且此时f >e,即a>2e2时,f(x)=x2-alnx+a在区间[1,e]上是减少的, 故当x=e时,f(x)min=f(e)=e2. 综上所述,函数y=f(x)在[1,+≦)上的最小值为 f(x)min= - 4 -