发布时间 : 星期日 文章2019年高中数学第二章数列2.4等比数列（第2课时）等比数列的性质及应用巩固提升解析版新人教A版必修5更新完毕开始阅读43267446988fcc22bcd126fff705cc1755275fe1
第2课时 等比数列的性质及应用
[学生用书P107(单独成册)]
[A 基础达标]
1．已知等比数列{an}的公比q为正数，且2a3＋a4＝a5，则q的值为( ) A．－1 C．－1或2
B.2 D．3
2
2
解析：选B.由已知得2a3＋a3q＝a3q，整理得2＋q＝q，解得q＝2或q＝－1.又因为
q>0，所以q＝2.
2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( ) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
解析：选C.当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．
3．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于( ) A．3 C．9
8
B.3 D．7
9
解析：选C.因为a4a8＝a5a7，a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，所以log3(a1a2·…·a9)＝log3a5＝log33＝9.
1a1＋a3＋a5＋a7
4．已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于 ( )
3a2＋a4＋a6＋a81
A．－ 31C. 3
B.－3 D．3
9
9
解析：选B.因为a2＋a4＋a6＋a8＝q(a1＋a3＋a5＋a7)， 所以
a1＋a3＋a5＋a71
＝＝－3.
a2＋a4＋a6＋a8q5．已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的是( )
A．|q|<1 B．a1>0，q<1
1
C．a1>0，0
解析：选C.因为{an}为递减数列，所以an－an－1＝a1qn－2
·(q－1)<0(n≥2，n∈N)，若
*
a1>0，则0
6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________．
a10a1q977n－12n－3n－3
解析：由已知得＝2＝q＝128＝2，故q＝2.所以an＝a1q＝a1q·q＝a3·qa3a1q＝3×2
n－3
.
n－3
答案：3×2
7．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________． 解析：因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π， 所以a4(a2＋2a4＋a6)＝a4a2＋2a4a4＋a4a6 ＝a3＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)＝π. 答案：π
37
8．在数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{nan＋1}是等比数列，则an＝________．
2337
解析：因为数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{nan＋1}是等比数列，2a2＋1＝3＋1＝4，
233a3＋1＝7＋1＝8，
2－1
所以数列{nan＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以nan＋1＝2，解得an＝. nn2
2
2
2
2
n2－1答案： nn9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：因为a1a5＝a3，a3a7＝a5， 所以由题意，得a3－2a3a5＋a5＝36， 同理得a3＋2a3a5＋a5＝100，
??（a3－a5）＝36，所以? 2
?（a3＋a5）＝100，?
2
2
22
2
2
2
因为an>0，
??a3－a5＝±6，所以?
?a3＋a5＝10.???a3＝2，??a3＝8，?解得或? ?a5＝8?a5＝2.??
2
1a1＝32，??a1＝，??2或?1分别解得?
q＝.???q＝2?2所以an＝a1qn－1
＝2
n－2
或an＝a1qn－1
＝2
6－n.
10．三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第三项加32又成等比数列，求这三个数．
解：按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq. 由已知条件知2(aq＋4)＝a＋aq.① 又a，aq＋4，aq＋32成等比数列，则 (aq＋4)＝a(aq＋32)?aq＋2＝4a.② 联立①②两式，
2
22
2
2
???a＝2，?a＝，
解得?或?9
?q＝3??
?q＝－5.
21050所以这三个数分别为2，6，18或，－，. 999
[B 能力提升]
1
11．计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低，则现在价格为8 100元
3的计算机3年后的价格可降低为( )
A．300元 C．2 400元
B.900元 D．3 600元
2
2
解析：选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机
3
?2?3年后的价格可降低为8 100×??＝2 400(元)． ?3?
5
12．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的
4最大值为________．
5
解析：因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，
4
3
a1qa1q＝2a1q，??所以?35 6
a1q＋2a1q＝2×，?4?
1解得a1＝16，q＝，
2
42
3
?1?所以an＝16×???2?
n－1
＝2
5－n，
2
－n＋9n4＋3＋2＋…＋(5－n)
所以a1a2a3·…·an＝2＝2， 2
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为2＝1 024. 答案：1 024
13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正数，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋
10
b3成等比数列，求Tn.
解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得
an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋1＝3， 所以a2＝3a1.
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列， 所以an＝3
n－1
.
(2)设{bn}的公差为d，
由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5， 故可设b1＝5－d，b3＝5＋d. 又a1＝1，a2＝3，a3＝9，
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3). 解得d1＝2，d2＝－10.
因为等差数列{bn}的各项为正数， 所以d＞0，所以d＝2.
2
n（n－1）2Tn＝3n＋×2＝n＋2n.
2
14．(选做题)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，
a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解：(1)设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1
，且0＜q＜1.
由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，
4
1?n－14－n115?所以64q＝30＋8q，解得q＝或(舍去)，所以an＝8×??＝2.
22?2?
2
(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·2由bn＞bn＋1，得(n＋2－λ)·2即λ＜n＋1，
4－n4－n，
3－n＞(n＋3－λ)·2，
所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．
5