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用数学归纳法证明不等式
题型一。利用数学归纳法证明不等式 例1 证明：2n＋2>n2，n∈N＋.
1115
练习1．用数学归纳法证明：＋＋?＋>(n≥2，n∈N＋)．
3n6n＋1n＋22．用数学归纳法证明：
1111
1＋2＋2＋?＋2<2－(n≥2，n∈N＋)． 23nn
n?n－1?2
3．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与
2Qn的大小，并加以证明．
题型二。归纳—猜想—证明
例2 设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值．
(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．
练习4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜测{an}，{bn}的通项公式； (2)证明你的结论．
5．是否存在常数a，b，c使等式12＋22＋32＋?＋n2＋(n－1)2＋?＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立，若存在，求出a，b，c并证明；若不存在，试说明理由．
本节练习
11－－1．用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有xn＋xn2＋xn4＋?＋n－4＋n－2xx1
＋n≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为( ) xA．n0＝1 B．n0＝2 C．n0＝1,2
D．以上答案均不正确
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3 C．5
D．6
111
3．用数学归纳法证明“1＋＋＋?＋n
232－1式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( ) A．2k1 B．2k－1 C．2k
－
D．2k＋1
111m
4．若不等式＋＋?＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m
2n24n＋1n＋2的最大值为( )
A．12 B．13 C．14 D．不存在
n＋2111
5．证明<1＋＋＋?＋
2232n1?2n＋11??1???1＋1＋1＋6．用数学归纳法证明“?3??5??
?2n－1?>2”时，n的最小取值n0
为________．
7．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan1b，则M，N的大小
－
关系为________
8．用数学归纳法证明，对任意n∈N＋，有 111
1＋＋＋?＋?≥n2. (1＋2＋?＋n)?n??23
9．设数列{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n＝1,2,3?.
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； (2)当a≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.
a·2x＋a－2
10．设a∈R，f(x)＝是奇函数，
2x＋1(1)求a的值；(2)如果g(n)＝
n
(n∈N＋)，试比较f(n)与g(n)的大小(n∈N＋)． n＋1