发布时间 : 星期二 文章3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示更新完毕开始阅读434b0b314a7302768e9939fd
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
教学目标：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直． 教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算． 教学难点：理解空间向量基本定理． 一．知识回顾：（预习教材P92-96找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本定理：
?????对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两个 向量，总是存在 实数对?x,y?，
????????使得向量P可以用a,b来表示，表达式为 ，其中a,b叫做 . 若????a?b，则称向量P正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示：
??平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量i,j作为基底，
????对平面上任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得a?xi?yj，，
??则称有序实数对?x,y?为向量a的 __ ，即a＝ ___ . 推广到空间向量，结论会如何呢？ 二．新知学习：
???????1.空间向量的正交分解：对空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量?1a1、?2a2、??????????????3a3，使a=_____________. 如果a1,a2,a3两两垂直，这种分解就是空间向量的__________.
???2.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任???一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得a_______________. 把
??????{a,b,c}叫做空间的一个_____，a,b,c都叫做________.
注意：
（1）对于基底{a,b,c},除a,b,c不共面外，任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 （2） 由于可视_____为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是______。
（3）一个基底是指一个______，一个基向量是指基底中的_________，二者是相关联的不同概念。
类型一：基底的判定
??????例1 :已知向量a,b,c是空间的一个基底，从向量a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量????????p?a?b, q?a?b构成空间的另一个基底？
【反思感悟】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．
????????????变式1：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？____________
变式练习2：以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
????→
C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量_________，且长度都为1，则这个基底叫做_____________，通常用｛i,j,k｝表示．
单位——三个基向量的长度都为____；正交——三个基向量_______．
4.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y
????轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得a?xi?yj?zk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a的坐标，记着a= .
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=___________
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作________，其中x叫做点A的_______，y叫做点A的________，z叫做点A的_________.
????5.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ ______ .AB的中点P的坐标为 ______ 类型二：空间向量基本定理的使用
例2 .M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN
????????????????????的三等分点，用OA,OB,OC表示OP和OQ.
（
变式练习1：已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，点G
????????????????''是侧面BBCC的中心，且OA?a，OC?b,OO'?c，试用向量???a,b,c表示下列向量: ?????????????????⑴OB',BA',CA'; ⑵ OG.
变式练习2：空间四边形OABC中，G,H分别是△ABC,△OBC的重心，设
???OA?a,OB?b,OC?c，试用a、b、c表示OG,GH.
类型三：求向量的坐标
例三：空间直角坐标系D-ABP中，四边形ABCD是正方形面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，
?????求 MN的坐标．
?????练习：设a?2i?j?3k，则向量a的坐标为 .
?????????????例四： 已知a,b,c是空间的一个正交基底，向量a?b,a?b,c是另一组基底，若p在a,b,c的
???????坐标是?1,2,3?，求p在a?b,a?b,c的坐标.
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?????1. 若a,b,c为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是 （ ）
?????????????????????a,a?b,a?bb,a?b,a?bc,a?b,a?ba?2b,a?b,a?b A. B. C. D.
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a， b，x}②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基底的向量
→组有A．1个 B．2个C．3个 D．4个 → → ( )
3.已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，OA＝a，OC＝c，OO′＝b，D是四边形OABC的对角线交点，则 ( )
→→→→
111111
A. O′D＝－a＋b＋c B. O′D＝－b－a－c C . O′D＝a－b－c D. O′D＝a－b＋c 222222
??4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A
在基底{i，j，k}下的坐标是 ( ) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2)
???????5. 设i、j、k为空间直角坐标系A-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且AB??i?j?k，
则点B的坐标是 ,向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________,
→→→→
6．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，则λ的值是________． 6. 已知A??3,5,?7?,B???2,4,3?,求AB? ,BA= , 则x＋y＋z＝________.
8．如图所示，已知点P为边长为4的正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中
→
点，且PA＝AD，建如图示空间直角坐标系，则向量MN的坐标为____________．
9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝1，CC1＝2，M为A1B1的中点．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图
→→所示)，则AB1的坐标为________，MB的坐标为___________．
10.四棱锥P—OABC的底面为一矩形，设OA?a,OB?b,OC?c的中→→→→???点，用a，b，c表示BF、BE、AE、EF.
4．在平行六面体ABCD?A?B?C?D?中，M是平行四边形A?B?C?D?的对角线的交点，N是棱BC的中点，如果
????→→→
7. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，AO＝xAB＋yBC＋zCC1，
D?MC?A????????????????????????AB?a，AD?b，AA??c，用a、b、c表示MN
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