发布时间 : 星期三 文章大学物理实验--测量的不确定度和数据处理更新完毕开始阅读43ad56d03186bceb19e8bb6a
测量的不确定度和数据处理
测量不确定度..........................................................................................................................................1
采用不确定度的必然性.....................................................................................................................1 测量不确定度的 B类分量................................................................................................................1 三种仪器误差分布............................................................................................................................3 合成标准不确定度和展伸不确定度 ...................................................................................................7 实验数据处理..........................................................................................................................................8 参考文献............................................................................................................................................... 10 摘要 文章澄清了测量不确定度教学中易混淆的一些概念，给出了实用的展伸不确定度公式；在数据处理中，倡导利用回归法；提出在作图法中画出误差杆，以更明确地表明实验的精度。
关键词 误差，测量不确定度，标准差，展伸不确定度，数据处理，误差杆，回归法。
测量不确定度
采用不确定度的必然性
国际计量局等七个国际组织于1993年指定了具有国际指导性的“测量不确定度表示指南 ISO 1993（E）” （以下简称《指南》）。几年来国际与国内的科技文献开始采用不确定度概念，我国各个高校也不断开展这方面的讨论，改革教学内容与方法，以求与国际接轨。虽然一些学者对《指南》的有些内容持批评态度[注1]，但总的趋势是在贯彻《指南》的同时，不断改善它。
测量不确定度定义为测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某一量值范围内的一个评定。不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类：符合统计规律的，称为A类不确定度，而不符合统计规律的统称为B类不确定度。测量不确定度的理论保留系统误差的概念，也不排除误差的概念。这里的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值（用更高级的仪器的测量值）的偏差。
测量不确定度的 B类分量
仪器的最大允差Δ仪
测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为ΔB 。它包含了由测量者估算产生
的部分Δ估和仪器精度有限所产生的最大允差Δ仪。Δ仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者自身可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。Δ仪可从仪器说明书中得到，它表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，一次测量可能产生的最大误差。一般而言，Δ仪为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很大，一些常用仪器的最大允差见第26页）。
测量者的估算误差Δ估
测量者对被测物或对仪器示数判断的不确定性会产生估算误差Δ估。对于有刻度的仪器仪表，通常Δ估为最小刻度的十分之几，小于Δ仪（因为最大允差已包含了测量者正确使用仪器的估算误差）。比如，估读螺旋测微器最小刻度的十分之一为0.001毫米，小于其最大允差0.004毫米；估读钢板尺最小刻度的十分之一为0.1毫米，小于其最大允差0.15毫米。但有时Δ估会大于Δ仪。比如，用电子秒表测量几分钟的时间，测量者在计时判断上会有0.1-0.2秒的误差。而电子秒表的稳定性为10-5秒/天，显然仪器的最大允差小得实在可以忽略。又如第30届国际物理奥林匹克竞赛实验题中要测量一个摆杆的质心到一端的距离。将摆杆放到一个“⊥”型物上并使之平衡，测量支撑点到摆一端的距离。由于“⊥”型物棱宽为2mm ，摆杆在棱上移动±1mm均能保持平衡，使得一次测量的估算误差应为±1mm ，大于钢直尺的最大允差Δ仪=0.15mm 。在拉伸法测金属丝杨氏模量实验中，由于难以对准金属丝被轧头夹住的位置，钢丝长度的估算误差可达±（1-2）mm 。在暗室中做几何光学实验，进行长度测量时，长度的估算误差也可达±（1-2）mm 。如果Δ估和Δ仪是彼此无关的，B类不确定度ΔB为它们的合成：
若Δ估和Δ仪中，某个量小于另一量的三分之一，平方后将小一个数量级，则可以忽略不计。由于一般而言，Δ估比Δ仪小（正常使用下已包含其中），在以下的讨论中仅以Δ仪表示ΔB。
B类分量的标准差
多次用同一规格型号的不同仪器测量同一物理量，测量值可能不同。这些测量值与平均值之差也是按一定概率分布的。正态分布是连续型随机变量中最常用、最重要的分布。一般而言，在相同条件下大批生产的产品，其质量指标一般服从正态分布。如某个数量指标X是很多随机因素之和，而每种因素所起的作用均匀微小，则X为服从随机分布的变量。例如，工厂大量生产某一产品，当设备、技术、原材料、工艺等可控制的生产条件都相对稳定，不存在系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布。如果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的概率都相等（如长度块规在一定温度范围内由于热胀冷缩导致的长度值变化），就为均匀分布。界于两种分布之间则可用三角分布来描述。
一次测量值的B类标准差为
其中C称为置信系数。在最大允差范围内，对于正态分布，C=√9 =3；对于三角分布，C= √6，对于均匀分布，C=√3。第32页给出几种常用仪器的误差分布以及C的取值，见下表[注2]：
仪器名称 误差分布 C 米尺 正态分布 3 游标卡尺 均匀分布 √3 千分尺 正态分布 3 物理天平 正态分布 3 秒表 正态分布 3 符合正态分布的测量列中某次测量值与平均值之差落在[-σ，σ]之间的概率为68.3%,落在[-2σ，2σ]之间为95.55%,落在[-3σ，3σ]之间的概率为99.73%（见图1），所以仪器的最大允差规定为Δ仪=3σ。不同的分布，在相同范围内的置信概率有所不同。不明确这一点，在合成不确定度的A类分量和B类分量时，就无法给出正确的置信概率和置信区间。为了说明这一点，先要做一些数学铺垫。
三种仪器误差分布
按照概率统计理论[注3]，若x是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则其数学期望值为
其方差为
标准差为
对于等精度测量，随机量
x1,x2,?,xn,其数学期望值（即平均值）为
方差为
标准差为
设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布（见图2），即