发布时间 : 星期三 文章高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第3讲 三更新完毕开始阅读43d6862700768e9951e79b89680203d8cf2f6a61
∴y=f?∴y=f?
?3π-x?=sin(-x)=-sinx,
??4?
?3π-x?是奇函数,且图象关于直线x=π对称.
?2?4?
函数f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性和对称性
触类旁通
π
(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx2+φ)为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).
(2)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,
可通过检验f(x0)的值进行判断.
核心规律
1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2π
2.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)
|ω|π
的最小正周期为.
|ω|
3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sint的性质.
满分策略
1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.
2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号,尽量化成ω>0时的情况. 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得,直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列4——三角函数中的分类讨论思想
π???π?[2018·龙岩模拟]已知函数f(x)=2asin?2x+?+a+b的定义域是?0,?,值域是
6?2???[-5,1],求a,b的值.
π?π?解题视点 ①先求出2x+的范围,再求出sin?2x+?的值域;②系数a的正、负影
6?6?响着f(x)的值,因而要分a>0,a<0两种情况讨论;③根据a>0或a<0求f(x)的最值,列方程组求解.
9
πππ7π
解 因为0≤x≤,所以≤2x+≤,
2666π?1?-≤sin?2x+?≤1. 6?2?所以当a>0时,?
?b=-5,?
??3a+b=1,
??b=1,
当a<0时,?
??3a+b=-5,
解得?
?a=2,?
??b=-5.
??a=-2,解得?
??b=1.
因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.
答题启示 ?1?对此类问题的解决,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin?ωx+φ?或y=Acos?ωx+φ?的最值,但要注意对A的正负进行讨论,以便确定是最大值还是最小值;
?2?再由已知列方程求解;
?3?本题的易错点是忽视对参数a>0或a<0的分类讨论,导致漏解. 跟踪训练
已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )
答案 D
解析 当a=0时,f(x)=1,即图象C;当0 最小正周期为T=>2π,即图象A;当a>1时,三角函数的最大值为a+1 >2,且最小正 a2π 周期为T=<2π,即图象B. a板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标] 10 π??1.[2018·石家庄模拟]函数f(x)=tan?2x-?的单调递增区间是( ) 3??A.?B.? ?kπ-π,kπ+5π?(k∈Z) ?12??2122 ?kπ-π,kπ+5π?(k∈Z) ?12??2122 π2π??C.?kπ+,kπ+?(k∈Z) 63?? π5π??D.?kπ-,kπ+?(k∈Z) 1212??答案 B πππkππkπ5π 解析 由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)得,-<x<+(k∈Z),所以 232212212π???kππkπ5π?函数f(x)=tan?2x-?的单调递增区间为?-,+?(k∈Z).故选B. 3?12???2122 2.[2018·桂林模拟]若函数f(x)=sinA.C.π 23π 2 x+φ3 (φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( ) B.D.2π 35π 3 答案 C 解析 ∵f(x)为偶函数,关于y轴对称,x=0为其对称轴.∴3π3π =0,φ=3kπ+,当k=0时,φ=.选C项. 22 x+φπ 3 =+kπ,令x2 ?ππ?3.[2018·福州模拟]下列函数中 ,周期为π,且在?,?上为减函数的是( ) ?42? π??A.y=sin?2x+? 2?? π??B.y=cos?2x+? 2?? ?π?C.y=sin?x+? 2?? 答案 A ?π?D.y=cos?x+? 2?? π???ππ?解析 对于选项A,注意到y=sin?2x+?=cos2x的周期为π,且在?,?上是减 2???42?函数.故选A. π?π?4.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f?? 4?12?的值是( ) A.0 C.1 B. 3 3 D.3 11 答案 D πππ?π??π?解析 由条件可知,f(x)的周期是.由=,得ω=4,所以f??=tan?4×?=4ω4?12??12?π tan=3. 3 ?π?5.函数y=2sin?-2x?(x∈[0,π])的增区间是( ) ?6??π?A.?0,? 3?? C.? B.?D.? ?π,7π? ??1212??5π,π? ? ?6? ?π,5π? 6??3? 答案 C π?ππ3π?π??解析 ∵y=2sin?-2x?=-2sin?2x-?,由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 6?262?6??5ππ5π?π?解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数的增区间为?+kπ,+kπ?,k∈Z,∴当 636?3? ?k=0时,增区间为?,π5π?. 6??3? 6.[2018·深圳模拟]函数y=log1 cosx的一个单调减区间是( ) 2A.(-π,0) B.(0,π) ?π?C.?0,? 2?? 答案 D ?π?D.?-,0? ?2? 解析 首先应保证cosx>0 ①;函数y=log1 cosx的单调减区间,即函数μ=cosx2的单调增区间 ②.易知只有选项D符合①②. π 7.[2018·郑州模拟]如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则|φ| 6的最小值为( ) A.C.π 6π 3 B.D.π 4π 2 答案 A ?π?解析 由题意,得sin?2×+φ?=±1. 6?? πππ 所以+φ=+kπ,即φ=+kπ(k∈Z), 326π故|φ|min=. 6 12