发布时间 : 星期二 文章高三复习理科学案曲线与方程更新完毕开始阅读43f8e54a27284b73f342500d
曲线与方程
导学目标： 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．
自主梳理
1．曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)__________________都是这个方程的______．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．平面解析几何研究的两个主要问题
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过曲线的方程研究曲线的性质． 3．求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示________________________； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝____________； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为________；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________． 自我检测 1．(2011·湛江月考)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( )
A．y＝2x2 B．y＝8x2 C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1
2．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 3．(2011·佛山模拟)已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是( )
A．直线l B．与l垂直的一条直线 C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线
→→
4．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
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5．(2011·江西)若曲线C1：x＋y－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
3333
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
33333333
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
3333
探究点一 直接法求轨迹方程
例1 动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．
→→
变式迁移1 已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|＋→→MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为______________．
探究点二 定义法求轨迹方程 例2 (2011·包头模拟)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
aa
－，0?，C?，0?，且满足条件变式迁移2 在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B??2??2?
1
sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是( )
22
16x16y2A.2－＝1 (y≠0) a15a216y216x2
B.2－2＝1 (x≠0) a3a2
16x16y2C.2－＝1 (y≠0)的左支 a15a216x216y2
D.2－2＝1 (y≠0)的右支 a3a
探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程
例3 如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．
变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P
2→→
是AB上一点，且AP＝PB.求点P的轨迹C的方程．
2
分类讨论思想的应用
例 (12分)
过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．
多角度审题 要求点P坐标，必须先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2
过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．
【答题模板】
解 (1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，
1
所以l2的斜率为－，
k1
l1的方程为y－b＝k1(x－a)，①
1
l2的方程为y－b＝－(x－a)，②
k1
b
在①中令y＝0，得M点的横坐标为x1＝a－，[4分]
k1a
在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋，[6分]
k1abx＝－，22k1
设MN中点P的坐标为(x，y)，则有
bay＝＋，22k1a
消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0 (x≠)．③[8分]
2ab?(2)当l1平行于y轴时，MN中点为??2，2?，其坐标满足方程③.
综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分] 【突破思维障碍】
引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．
【易错点剖析】
???
ab?当AM⊥x轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为??2，2?，易错点是把斜率不存在的ab?情况忽略，因而丢掉点??2，2?.
1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关
系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．
2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 2．(2011·唐山模拟)已知A、B是两个定点，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，则点C的轨迹为( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．线段
→→
3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是( )
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
4．(2011·银川模拟)如图，圆O：x＋y＝16，A(－2，0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
22xy
5．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，
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则动点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一个分支 C．两条射线 D．一条射线
2
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