发布时间 : 星期二 文章2020高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形课下层级训练21简单三角恒等变换含解析文新人教A版更新完毕开始阅读4436766a7175a417866fb84ae45c3b3567ecdd19
课下层级训练(二十一) 简单三角恒等变换
[A级 基础强化训练]
1．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A．3 C．2
B．1＋2
D．2(tan 18°＋tan 27°)
C [原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18° tan 27°
＝1＋tan 18° tan 27°＋tan 45° (1－tan 18°tan 27°)＝2.]
1α2．(2019·山东重点中学模拟)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos 等于( )
32A．6
3
3
3
B．－
6
33 3
C．D．－
1α?π?B [∵cos α＝，α∈(π，2π)，∴∈?，π?， 32?2?
∴cos ＝－ 2
α1＋cos α＝－ 2
11＋36＝－ .] 23
3．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝π
A． 4C．π
tan x2的最小正周期为( ) 1＋tanxπB．
2D．2π
sin xsin xcos xcos xtan x1
C [由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2221＋tan xsin x?2cos x＋sin x2?1＋?2?cos x?cos x?2x，
2π
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.]
2
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cosx－sinx＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
1－cos 2x3522
B [∵f(x)＝2cosx－sinx＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最
222
1
2
2
小正周期为π，最大值为4.]
5．(2019·吉林通化联考)已知函数f(x)＝
x?1＋cos 2xx?
＋ asin cos?π－?的最大值
2?2??π?4sin?＋x?
?2?
为2，则常数a的值为( )
A．15 C．±15
2
B．－15 D．±10
2
2cosx111＋aC [因为f(x)＝－asin x＝(cos x－asin x)＝cos(x＋φ)(其中tan φ4cos x2221＋a＝a)，所以＝2，解得a＝±15.]
2
2cos－sin x－1
2
6．已知tan(3π－x)＝2，则＝__________.
sin x＋cos x－3 [由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan x＝2， 2cos－sin x－1
2cos x－sin x1－tan x故＝＝＝－3.]
sin x＋cos xsin x＋cos xtan x＋1
7．在△ABC中，若3(tan B＋tan C)＝tan B·tan C－1，则sin 2A＝__________. 3tan B＋tan Ctan B＋tan C [由两角和的正切公式知tan(B＋C)＝＝21－tan B·tan C－3tan B＋tan C＝－
33π3，所以tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，所以sin 2A＝.] 3362
2
2
2
xx1
8．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝__________.
33
[∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即C＝90°＋A， 3
1112
∵sin B＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝，即1－2sinA＝，∴
333sin A＝3.] 3
513ππ
，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值． 532253π25，π<α<，得sin α＝－， 525
9．设cos α＝－
解 由cos α＝－
1
tan α＝2，又tan β＝，
3
2
tan α－tan β12－
3
于是tan(α－β)＝1＋tan αtan β＝＝1. 1＋2×
13
又由π<α<3π2，0<β<π
2，
可得－π2<－β<0，π3π
2<α－β<2，
因此，α－β＝5π
4
. 10．已知cos??π?6＋α???·cos??π?3－α???＝－1?ππ?32?4，α∈?，??. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－
1
tan α的值． 解 (1)∵cos??π?6＋α???cos??π?3－α???
＝cos??ππ?6＋α???sin??π?6＋α???＝1?12sin???2α＋3??＝－4，
∴sin???2α＋π3???＝－12.
∵α∈?
?π?3，π2???，∴2α＋π3∈???π，4π3???
， ∴cos???2α＋π3??3?＝－2， ∴sin 2α＝sin??????
2α＋π3??π?－?3??
＝sin???2α＋π3???cos π3－cos???
2α＋π3???sin π13＝2.
(2)∵α∈??π?3，π2???，∴2α∈??2π?3，π???
. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－3
2
. 2
2
∴tan α－1sin αcos αsinα－costan α＝αcos α－sin α＝sin αcos α
－3＝－2cos 2αsin 2α＝－2×21
＝23.
2
[B级 能力提升训练]
3
11．函数f(x)＝3sin cos ＋4cos(x∈R)的最大值等于( )
222A．5 5
C． 2
9B． 2D．2
99＋4＋2＝.] 42
xx2
x31＋cos x3
B [由题意知f(x)＝sin x＋4×＝sin x＋2cos x＋2≤
222π??π?2?x12．已知x∈(0，π)，sin?－x?＝cos?＋?，则tan x＝( )
?3??24?1
A． 2C．2 2
B．－2
D．2
?π?cos?x＋?＋1
2?ππ31?
D [由已知，得sin cos x－cos sin x＝，即cos x－sin x＝
33222
113
－sin x＋，所以cos x＝.因为x∈(0，π)，所以tan x＝2.] 223
13．(2018·山东济南一模)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若m＋n＝4，则＝__________. 22cos27°－1
2 [由题意得n＝4－m＝4－4sin18°＝4cos18°，则2sin 18°4cos18°
cos 54°
＝
2sin 18°×2cos 18°2sin 36°
＝＝2.]
cos 54°sin 36°
22
2
2
2
mnmn2cos27°－1
2
＝
14．在斜△ABC中，sin A＝－2cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为__________.
π
[由已知sin(B＋C)＝－2cos Bcos C， 4
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝－2cos Bcos C， ∴tan B＋tan C＝－2， 又tan B·tan C＝1－2，
tan B＋tan C∴tan(B＋C)＝＝－1，
1－tan Btan C
4