发布时间 : 星期二 文章石油大学大物1章习题解答03更新完毕开始阅读4442f348b52acfc789ebc9cb
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1-11．一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速a??ky，其中k为常数，y是离开平衡位置的坐标值，并设y0处物体的速度为v0，试求速度v与y的函数关系。
dvdvdydv??v dtdydtdy vdv?ady
[解] 由 a?对上式两边积分
?v即
v0vdv??ady???kydy
y0y0yy12?v?v02???1k?y2?y02? 2222v2?v0?k?y0?y2?
故速度v与y的函数关系为
1-12．一艘正以速率v0匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即a??kv2，其中k为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶x距离时速度的大小。
dvdvdxdv ??vdtdxdtdxv dx?dv
a[解] a? 对上式两边积分
?0 化简得
xdx??vv0vdvv dv??v0?kvax??所以
1vln kv0v?v0e?kx
1-13．一粒子沿抛物线轨道y?x2运动，且知vx?3m ?s-1。试求粒子在x?m处的速度和加速度。
32[解] 由粒子的轨道方程 y?x2 对时间t求导数 vy?dydx?2x?2xvx (1) dtdt再对时间t求导数，并考虑到vx是恒量
a?把x?dvydt2?2vx (2)
2m代入式(1)得 32vy?2??3?4ms
3所以，粒子在x?2m处的速度为 322v?vx?vx?32?42?5m?s-1
与x轴正方向之间的夹角
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??arctg由式(2)得粒子在x?4?arctg?53?8? vx3vy2m处的加速度为 3a?2?32?18m?s-2
加速度方向沿y轴的正方向。
1-14．一物体作斜抛运动，抛射角为?，初速度为v0，轨迹为一抛物线(习题1-14图)。试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径。
[解] 物体在A点的速度设为vA，法向加速度为anA，曲率有
y半径为?A，由题图显然
v0A??vA?v0cos? (1) anA=g (2)
2vA?习题1-14图
Bx?A?anA (3)
22v0cos?联立上述三式得 ?A?
g物体在B点的速度设为vB，法向加速度为anB，曲率半径为?B，由题图显然有
vB?v0 (4) anB?gcos? (5)
2vB?B?anB (6)
2v0联立上述三式得 ?B?
gcos?
1-15．一物体作如习题1-15图所示的抛体运动，测得轨道点A处的速度大小为v，其方向与水平线的夹角为30?，试求点A的切向加速度和该处的曲率半径。
[解] 设A点处物体的切向加速度为at，法向加速度为an，
yvA曲率半径为?，则
g?at?an
由图知 at??gsin300??0.5g an?gcos300?3g/2
?30?x习题1-15图
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v2v223v2又 ???an 所以 ???an3g3g/2v21-16．在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程随时间的变化规律为s?v0t?1bt2，其
2中v0和b都是正常量。试求t时刻齿尖P的速度及加速度的大小。
[解] 设时刻t齿尖P的速率为v， 切向加速度at，法向加速度an，则
v?ds/dt?v0?btat?dv/dt?ban?v2/R?(v0?bt)2/R所以，t时刻齿尖P的加速度为
2a?at2?an?b2?(v0?bt)4/R2
1-17．火车在曲率半径R?400m的圆弧轨道上行驶，已知火车的切向加速度at?0.2m ?s-2，求火车的瞬时速率为10m ?s-1时的法向加速度和加速度。
v2102??0.25m?s-2 [解] 火车的法向加速度 an?R400方向指向曲率中心 火车的总加速度 a?2an?at2?0.252?0.22?0.32m?s-2
设加速度a与速度v之间的夹角为?，则
??arctanan0.25?arctan?51.340 at0.21-18．一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置??2?4t3。试求
(1)在t?2s时它的法向加速度和切向加速度各是多少?
(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，?值为多少? (3)何时切向加速度与法向加速度大小相等? [解] 质点的角速度 ??d?/dt?12t2
t2?1.2t2 质点的线速度 v?R??0.10?12质点的法向加速度an，切向加速度at为
an??2R?(12t2)2?0.10?14.4t4 (1) at?dv/dt?2.4t (2)
(1)把t=2s代入(1)式和(2)式，得此时
an?14.4?24?2.3?102m/s2at?2.4?2?4.8m/s(2)质点的总加速度
2
2a?an?at2?2.4t(36t6?1)1/2
由 at?1a 得 2.4t?0.5?2.4t36t6?1 2 解得 t=0.66s
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所以 ??2?4t3?3.15rad (3) 当an?at即14.4t4?2.4t时
有 t=0.55s
1-19．河宽为d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为v0。某人以相对水流不变的速率v垂直水流方向驶船渡河，试求船在达到中流之前的轨迹方程。
[解] 取图示坐标系
vx?ky
已知 y?d2时，vx?v0 代入上式得 k?2v0d
所以 v2v0x?dy 又 vy?v
积分得 y?vt 代入(1)式得 v2v0x?dvt 积分得 x?2v0dvt2 由(2)、(3)消去t得 x?v02dvy
(1)
(2)
(3)
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