发布时间 : 星期三 文章高二精选题库 数学6-4北师大版更新完毕开始阅读445f6163a98271fe910ef964
第6模块 第4节
[知能演练]
一、选择题
a
1．“a＝1”是“对任意正数x,2x＋≥1”的
x
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
a12a
解析：当a＝1时，2x＋＝2x＋≥22(当且仅当x＝时取等号)所以a＝1?2x＋
xx2xaa
≥1(x>0)．a＝1为2x＋≥1(x>0)的充分条件．反过来，对任意正数x，当a＝2时，2x＋≥1
xxa
恒成立，所以2x＋≥1a＝1.故为非必要条件．故选A.
x
答案：A
2．下列结论正确的是
( )
A．当x>0且x≠1时，lgx＋B．当x>0时，x＋
1≥2 x1
≥2 lgx
1
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
x1
D．当0 x解析：x>0，x＋当且仅当x＝答案：B 3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是 ( ) A．(－∞，－1] C．[－1,3] B．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 1x1x≥2 1 x·＝2， x，即x＝1时，等号成立． 解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)， 如果x>1，则log2x＋logx2≥2， 如果0 ∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案：D 4．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin17°＋cos17°，则下列各式正确的是 ( ) a＋bA．a< 2a2＋b2 C．a 2 2 2 a＋bB．b< 2a2＋b2 D．b 2 2 22 a＋b6解析：a＝2sin60°＝>1，b＝2sin62°，于是b>a，淘汰B、D，又>ab>b，从 22a2＋b2 而>b>a.故选C. 2 答案：D 二、填空题 x2 5．函数y＝4(x≠0)的最大值为____________，此时x的值为________． x＋9x 解析：y＝4＝x＋91 答案： ±3 6 6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 解析：设仓库建在离车站d千米处， k20 由已知y1＝2＝1，得k1＝20，∴y1＝， 10d44 y2＝8＝k2·10，得k2＝，∴y2＝d， 55∴y1＋y2＝ 204d ＋≥2 d5 204d ·＝8， d5 2 1x2＋ 92x ≤19 ＝，当且仅当x2＝2，即x＝±3时取等号． x296 1 204d 当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小． d5答案：5 三、解答题 7．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值； (2)设x>－1，求函数y＝?x＋5??x＋2? x＋1 的最值； 解：(1)∵x>0，a>2x， y＝x(a－2x)＝112x＋?a－2x?2 ∴2a2×2x(a－2x)≤2×[2]＝8 2 当且仅当x＝aa 4时取等号，故函数的最大值为8. (2)∵x>－1，∴x＋1>0， 设x＋1＝z>0，则x＝z－1 ∴y＝?z＋4??z＋1?z2＋5z＋44 z＝z＝z＋z＋5 ≥2 z·4 z ＋5＝9 当且仅当z＝2即x＝1时上式取等号 ∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值． 8．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0. (1)求f(0)； (2)求f(x)； (3)不等式f(x)>ax－5当0 解：(1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2. (2)令y＝0， f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x， ∴f(x)＝x2 ＋x－2. (3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5， ax . 当x∈(0,2)时，1＋x＋3 x≥1＋23， 当且仅当x＝3 x，即x＝3时取等号， 由3∈(0,2)，得(1＋x＋3 x)min＝1＋23， ∴a<1＋23. [高考·模拟·预测] 1．函数f(x)＝x2－2x＋1 x2－2x＋1 ，x∈(0,3)，则 ( ) 7 A．f(x)有最大值 4 B．f(x)有最小值－1 D．f(x)有最小值1 C．f(x)有最大值1 解析：∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)， ∴(x－1)∈[0,4)， 1 ∴f(x)＝(x－1)2＋2－1 ?x－1?≥2 1 ?x－1?2·－1＝2－1＝1. ?x－1?22 12 当且仅当(x－1)＝，且x∈(0,3)， ?x－1?2即x＝2时取等号， ∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1. 答案：D 11 2．设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为 ab ( ) A．8 C．1 B．4 1D. 4 1111ba 解析：由题意有3a·3b＝3a＋b＝(3)2＝3，∴a＋b＝1.∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥4， ababab1 等号当且仅当a＝b＝时成立，故选B. 2 答案：B 11 3．已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是 ab ( ) A．2 C．4 B．22 D．5 1111 解析：＋＋2ab≥2＋2ab≥4.等号当且仅当a＝b且＝ab，即a＝b＝1时 ababab成立．故选C. 答案：C 4．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”．下图四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为 ( )