发布时间 : 星期三 文章专题研究：因式分解总结归纳及典型例题更新完毕开始阅读44981b26376baf1ffc4fad76
练习7、分解因式：（1）5x?7x?6 （2）3x?7x?2
2 （3）10x?17x?3 （4）?6y2?11y?10
（三）二次项系数为1的齐次多项式
2b2 例5、分解因式：a?8ab?128分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 22 1 8b
1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解：a2?8ab?128b2=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) =(a?8b)(a?16b)
练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m2?6mn?8n2(3)a2?ab?6b2
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例6、2x2?7xy?6y2 例7、x2y2?3xy?2 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2) 练习9、分解因式：（1）15x2?7xy?4y2 （2）a2x2?6ax?8
综合练习10、（1）8x6?7x3?1 （2）12x2?11xy?15y2 （3）(x?y)2?3(x?y)?10 （4）(a?b)2?4a?4b?3
（5）x2y2?5x2y?6x2 （6）m2?4mn?4n2?3m?6n?2
（7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3（8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2 （9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2
思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc
五、换元法。
例8、分解因式（1）2005x2?(20052?1)x?2005
（2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2 解：（1）设2005=a，则原式=ax2?(a2?1)x?a
=(ax?1)(x?a) =(2005x?1)(x?2005)
（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x2?7x?6)(x2?5x?6)?x2
设x2?5x?6?A，则x2?7x?6?A?2x ∴原式=(A?2x)A?x2=A2?2Ax?x2
=(A?x)2=(x2?6x?6)2
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练习13、分解因式（1）(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2)
（2）(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90 （3）(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2
例9、分解因式（1）2x4?x3?6x2?x?2
观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
22解：原式=x(2x?x?6?1111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6?
xxxx1122设x??t，则x?2?t?2
xx22∴原式=x（2t?2)?t?6?=x22t2?t?10
21????2 =x?2t?5??t?2?=x2?2x??5??x??2?
xx????21????22 =x·x·?2x??5?·?x??2?=2x?5x?2x?2x?1
xx??????????? =(x?1)2(2x?1)(x?2) （2）x4?4x3?x2?4x?1
41??1??1???2)=x2??x2?2??4?x???1? xxx??x????1122 设x??y，则x?2?y?2
xx222 ∴原式=x(y?4y?3)=x(y?1)(y?3)
11222 =x(x??1)(x??3)=x?x?1x?3x?1
xx432练习14、（1）6x?7x?36x?7x?6
4322（2）x?2x?x?1?2(x?x)
解：原式=x(x?4x?1?22????
六、添项、拆项、配方法。
32例10、分解因式（1）x?3x?4
解法1——拆项。 解法2——添项。
3232原式=x?1?3x?3 原式=x?3x?4x?4x?4 =
(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x2?3x?4)?(4x?4)
22=(x?1)(x?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x?4x?4)
2=(x?1)(x?4x?4)
22=(x?1)(x?2) =(x?1)(x?2)
963（2）x?x?x?3
解：原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)
=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1) =(x?1)(x?x?1?x?1?1)
3633363333963 10
=(x?1)(x2?x?1)(x6?2x3?3)
练习15、分解因式
（1）x3?9x?8 （2）(x?1)4?(x2?1)2?(x?1)4 （3）x4?7x2?1 （4）x4?x2?2ax?1?a2
（5）x4?y4?(x?y)4 （6）2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4
七、待定系数法。
例11、分解因式x2?xy?6y2?x?13y?6
分析：原式的前3项x2?xy?6y2可以分为(x?3y)(x?2y)，则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)
解：设x2?xy?6y2?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)
∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴x2?xy?6y2?x?13y?6=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn
?m?n?1?m??2?3n?2m?13对比左右两边相同项的系数可得?，解得?
n?3??mn??6?∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)
例12、（1）当m为何值时，多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2，求a?b的值。
（1）分析：前两项可以分解为(x?y)(x?y)，故此多项式分解的形式必为
(x?y?a)(x?y?b) 解：设x?y?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)
则x?y?mx?5y?6=x?y?(a?b)x?(b?a)y?ab
222222?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得：?b?a?5，解得：?b?3或?b??3
?ab??6?m?1?m??1???∴当m??1时，原多项式可以分解；
当m?1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)； 当m??1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)
32（2）分析：x?ax?bx?8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因
式必为形如x?c的一次二项式。
32解：设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)
3232 则x?ax?bx?8=x?(3?c)x?(2?3c)x?2c
?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14， ?2c?8?c?4??∴a?b=21
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练习17、（1）分解因式x2?3xy?10y2?x?9y?2
（2）分解因式x2?3xy?2y2?5x?7y?6
（3） 已知：x2?2xy?3y2?6x?14y?p能分解成两个一次因式之积，求常数p并
且分解因式。 （4） k为何值时，x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的乘积，并
分解此多项式。
第四部分：习题大全
第1课时 多项式的因式分解(1)
【基础巩固】
1．(2012．济宁)下列式子变形是因式分解的是 ( ) A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3) 2．多项式－5mx3＋25mx2－10mx各项的公因式是 ( ) A．5mx2 B．－5mx3 C．mx D．－5mx 3．(1)单项式－12x8y2与8x6y5的公因式是_______； (2)－x2y(x＋y)3＋x(x＋y)2的公因式是_______．
4．若x2＋ax＋b＝(x＋5)(x－2)，则a＝_______，b＝_______． 5．(2012．苏州)若a＝2，a＋b＝3，则a2＋ab＝_______． 6．分解因式：
(1)(2012．成都)x2－5x； (2)－20a＋5a2－15ab； (3)(2012．广东)2x2－10x； (4)4a(m－n)2－6b(m－n)2； (5)(2m＋n)(x－y)－(2m＋n)(x＋y)； (6)15(a－b)2－3y(b－a)． 【拓展提优】
7．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是 ( ) A．a2－9＋6a＝(a＋3)(a－3)＋6a B．(a＋5)(a－2)＝a2＋3a－10 C．a2－8a＋16＝(a－4)2 D．6ab＝2a·3b
8．(2012．温州)把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是 ( )
A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4 9．代数式3x2－4x＋6的值为9，则x2－
4x＋6的值为 ( ) 3 A．7 B．18 C．12 D．9 10．把多项式－16a3＋40a2b提出一个公因式－8a2后，另一个因式是_______． 11．(2012．成都)已知当x＝1时，2ax2＋bx的值为3，则当x＝2时，ax2＋bx的值为_______． 12．分解因式：
(1)18a3bc－45a2b2c2＋36a2b2； (2)－12x3＋12x2y－3xy2； (3)14x(x－y)－21y(y－x)； (4)(x＋y)2＋mx＋my； (5)a(x－a)(x＋y)2－b(a－x)2(y＋x)． 13．利用因式分解计算：
(1)2.39×91+156×2.39－2.39×47； (2)39×37－13×81．
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