发布时间 : 星期日 文章(广东专版)2019高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 专题强化练十四 圆锥曲线中的热点问题 文更新完毕开始阅读44d802740408763231126edb6f1aff00bfd57078
规划很好卡卡看法专题强化练十四 圆锥曲线中的热点问题
一、选择题
1.若双曲线-=1(0<λ<1)的离心率e∈(1,2),则实数λ的取值范围为
λ1-λ( )
x2y2
?1?A.?,1?
?2?
C.(1,4)
B.(1,2)
?1?D.?,1? ?4?
1
1
<2,得<λ<1.
4λ
解析:易知c=1,a=λ,且e∈(1,2),所以1<答案:D
x2y2
2.(2018·河南信阳二模)已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,
ab3),则双曲线的离心率为( ) A.23
323
或2 3
B.2
C.D.3或2
b3b21c2-a21
解析:由题意可得=,即2=,得2=,
a3a3a3
124232
则e-1=,e=,解得e=(舍负).
333答案:A
x2y2
3.(2018·北京东城区调研)已知圆M:(x-2)+y=1经过椭圆C:+=1的一个焦
m3
2
2
点,圆M与椭圆C的公共点为A,B,点P为圆M上一动点,则P到直线AB的距离的最大值为( )
A.210-5 C.410-11
B.210-4 D.410-10
解析:易知圆M与x轴的交点为(1,0),(3,0),所以m-3=1或m-3=9,则m=4或m=12.
当m=12时,圆M与椭圆C无交点,舍去.所以m=4. (x-2)+y=1,??22
2
联立?xy得x-16x+24=0.
+=1,??43
1
2
2
规划很好卡卡看法因为x≤2,所以x=8-210.故点P到直线AB距离的最大值为3-(8-210)=210-5.
答案:A
x2y22
4.(2018·山东德州一模)已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y=
ab16x的准线上,且双曲线的一条渐近线过点(3,3),则双曲线的方程为( )
A.-=1 420C.-=1 412
x2x2
y2y2
B.D.
-=1 124-=1 204
x2x2
y2y2
x2y2b解析:双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
aba由双曲线的一条渐近线过点(3,3),可得=3,①
双曲线的一个焦点(-c,0)在抛物线y=16x的准线x=-4上, 可得c=4,即有a+b=16,② 由①②解得a=2,b=23, 则双曲线的方程为-=1.
412答案:C 二、填空题
2
2
2
bax2y2
x2y2
5.(2018·山西太原一模)过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,
ab与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________.
x2y2
解析:由过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右
ab支交于两点,可得<2,
bac所以e==
aa2+b2<1+4=5, a2
因为e>1,所以1<e<5,
所以此双曲线离心率的取值范围为(1,5). 答案:(1,5)
6.(2018·济南模拟)已知抛物线y=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过
2
A,B分别作x轴,y轴垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.
解析:不妨设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2),(y2<0).
2
规划很好卡卡看法
则|AC|+|BD|=x2+y1=+y1.
4又y1y2=-p=-4.
4
所以|AC|+|BD|=-(y2<0).
4y2
2
y22
y22
x24x3+8
设g(x)=-,g′(x)=2,
4x2x令g′(x)<0,得x<-2,令g′(x)>0得-2<x<0.所以g(x)在(-∞,-2)递减,在(-2,0)递增.
所以当x=-2,即y2=-2时,|AC|+|BD|取最小值为3. 答案:3 三、解答题
7.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切. (1)求动圆心M的轨迹方程;
(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.
(1)解:由题意得点M与点(0,1)的距离等于点M与直线y=-1的距离.
由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,则
2=1,所以p=2.
所以圆心M的轨迹方程为x=4y.
(2)证明:由题意知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2),
??x=4y,2由?得x-4kx+8=0, ?y=kx-2,?
2
2
p所以x1+x2=4k,x1x2=8.
2
x2x21
y1-y244x1-x2
kAC===,
x1+x2x1+x24
直线AC的方程为y-y1=
-x1-x2
4
(x-x1).
3
规划很好卡卡看法即y=y1+
x1-x2
4
x1-x2x1(x1-x2)x2x1-x2x1x21
(x-x1)=x-+=x+,
4
4
4
4
4
因为x1x2=8,所以y=
x1-x2
x+2,
4
则直线AC恒过点(0,2).
x2y23
8.(2018·西安质检)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率e=,直线x+3yab2
-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A,B两个不同的点,且λ=|MA|·|MB|,求λ的取值范围.
1
解:(1)原点到直线x+3y-1=0的距离为,
21?2?3?2?2
由题得??+??=b(b>0),
?2??2?解得b=1.
c2b23
又e=2=1-2=,得a=2.
aa4
2
所以椭圆C的方程为+y=1.
4
(2)当直线l的斜率为0时,λ=|MA|·|MB|=12.
当直线l的斜率不为0时,设直线l:x=my+4,点A(x1,y1),B(x2,y2),
x2
2
x=my+4,??2
联立方程组?x 2
+y=1.??4
化简得(m+4)y+8my+12=0.
由Δ=64m-48(m+4)>0,得m>12, 所以y1y2=
12. m+4
22
2
2
2
2
λ=|MA|·|MB|
=m+1|y1|·m+1|y2| =(m+1)|y1y2| 12(m+1)=
m2+4=12?1-
222
2
??
3?
. m+4??
2
4