发布时间 : 星期日 文章勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别更新完毕开始阅读44f5af1dff00bed5b9f31d30
贝格可积之间的联系，再利用这种关系给出一些简单情况下的积分计算方法。
先约定一些符号，设f是?a,b?上的有界函数，V是非退化区间，记
Mf(V)?sup?f(x)|x?V??a,b? ?,mf(V)?inf?f(x)|x?V??a,b? ?
?f?M(V)?m(V)
?f(x)?inf??(V)|V是开区间，且x?V?
称?f(V)是f在V??a,b?上的振幅，?f(x)是f在点x处的振幅。当函数f确定时，?f(V)与?f(x)简记为?(V)与?(x)。我们有这样几个定理： 定理1： 设f是定义在?a,b?上的函数，??0，则 (1)对任意x??a,b?，f在点x连续当且仅当?(x)?0 (2)集合?x??a,b?|?(x)???是闭集。
定理2：区间?a,b?上的有界函数f黎曼可积的充要条件是集合
[1]
?x??a,b?|?(x)?0?的测度为0.
定理3: 若有界函数f在?a,b?上黎曼可积，则f在?a,b?上也是勒贝格可积，且积分值相等，即
(R)?f(x)dx??ab?a,b?f(x)dx
定理2说明L积分是R积分的推广，定理3说明对于非负函数而言L积分也是R反常积分的推广，但是一般情况下L积分并不是R反常积分的推广，这主要因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。所以不能以为L积分包括了R积分就得出L积分比R积分优越的结论。然而L积分对于R积分来讲确实有本质上的进步。 例1：设?0,??上的函数
x??0,??\\Q?sinx f(x)????x x?0,??Q?计算??0,??f(x)dx.
解：因?0,???Q是零测集，故在?0,??上f(x)?sinx a.e.
因此得
?? 例2令
0,??f(x)dx?? sinxdx?(R)?sinxdx?1
?0,??0??sinx, x?0? f(x)??x??1, x?0则f(x)在?0,???上连续，f(x)在?0,???上的R反常积分收敛且
(R)?但是，(L)?同理，(L)??0,????0,?????0sinx?dx?。 x2f(x)dx???2???
(2n?1)?n?0?f?(x)dx???。
所以f(x)在?0,???上不是积分确定的，当然不是L可积。
3．从极限理论上比较分析勒贝格积分和黎曼积分的优缺点
3．1 勒贝格测度与L积分控制收敛定理
勒贝格可测：数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作
?(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。
勒贝格控制收敛定理 ：设(s,?,?)为一个测度空间，(fn)?0 是一个实值的可测函数列。如果(fn)逐点收敛于一个函数f，并存在一个勒贝格可积的函数g?L1，使得对每个n?0，任意x?s，都有
fn(x)?g(x)
则：
1：f也是勒贝格可积的，f?L；
2：?fd???limfnd??lim?fnd?
ssn??n??s其中的g函数一般取为正值函数。函数列(fn)n?0的逐点收敛和fn(x)?g(x)的性质可以减弱?为几乎处处成立。由此我们可得到L积分的几个优点。 3．2 勒贝格积分的优点
L积分优点1：在R积分中逐项积分问题，也就是积分与极限过程交换顺序问题，条件相当苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号，这从运算的角度来看不仅不方便，而且限制过强，而L积分比R积分要求的条件小得多，对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分，就L控制收敛定理而言，只须存在控制函数F(x),使得f(x)?F(x)即可，因此在极限换序上L积分比R积分灵便得多。例如：狄克莱函数
??1 x?Q??0,1?, D????0 x?Q??0,1?把?0,1?上的有理点依次排列成：r1?r2??rn?作函数列
?n(x)???1,当x?r1??rn
?0, 其余情况在L积分意义下由
则?n(x)处处收敛于D(x)，且0??n(x)?D(x)，n?1,2,Lebesgue控制收敛定理
limn???0,1???(x)dx??lim?(x)dx??n?0,1?n??nD(x)dx?0 (?)
1?0,1?但D(x)不是R可积，尽管在R积分意义下，有： (R)??n(x)dx?0,n?1,2,0,也
谈不上(?)成立。
L积分优点2：在R积分中f(x)可积，有f(x)也可积，但反之不成立. 例如
?1 x?Q??0,1?f(x)=?,
??0 x?Q?0,1?f(x)?1在?0,1?上可积，但f(x)不可积，其大和为1，小和为-1,而在L积分中
有很好的结论，L积分是绝对收敛积分。即：f(x)在集合E上可测，f(x) L可积的充分必要条件是f(x)可积，这给研究问题带来了许多方便。例如：设
mE???,f(x)在E上可积，en?{xf(x)?n}试证：limn?men?0n??f(x)在E上
可积?f(x)非负可积.?limn??k?n?1?k?mE?k?0（详见东北师大霍殿清等编《实变函
数学习参考与习题解答》第68页.）其中Ek?{xk?1?f(x)?k}
L积分优点3：在R积分下二重积分化成累次积分计算时，要求被积函数在积分区域上连续，这一要求是比较高的，运算起来不方便，特别是对非负可测函数来讲，可无条件地化成累次积分，这些结果运用起来比较方便。
参考文献
[1] 程其襄,张奠宙,魏国强.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,1983.97～138.
[2] 东北师大霍殿清等编《实变函数学习参考与习题解答》第68页.
[3] 郭懋正.实变函数论与泛函分析[M].北京:北京大学出版社,2005. 91～92. [4] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京:高等教育出版社,1981.200～203.
[5] 王照凯.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系，[6] 张君贤.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系, [J].
[J].