发布时间 : 星期一 文章2021高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4节函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用.教学更新完毕开始阅读4545926c393567ec102de2bd960590c69ec3d811
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单
应用
[最新考纲] 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 1ωf＝＝ T2π相位 初相 A T＝2π ωωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x φ－ ω0 0 π－φ2ωπ 2 π－φ ω3π－φ2 2π－φ ωωωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) π 0 3π 2－A 2π 0 A 3.由y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像
[常用结论]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
φω(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )
π?π?(2)将y＝3sin 2x的图像左移个单位后所得图像的解析式是y＝3sin?2x＋?.( ) 4?4?π?π??π?(3)y＝sin?x－?的图像是由y＝sin?x＋?的图像向右平移个单位得到的．( )
4?4?2??(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
2
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编
T?1π?1．y＝2sin?x－?的振幅、频率和初相分别为( )
3??2
π
A．2,4π，
3C．2，
1π，－ 4π3
B．2，
1π
， 4π3
π
D．2,4π，－
3
1ω1π
C [由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.]
T2π4π3
π??2．为了得到函数y＝2sin?2x－?的图像，可以将函数y＝2sin 2x的图像( )
3??π
A．向右平移个单位长度
6π
C．向左平移个单位长度
6
π
B．向右平移个单位长度
3π
D．向左平移个单位长度
3
π???π?A [y＝2sin?2x－?＝2sin 2?x－?.] 3?6???
3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________．
?y＝10sin?x＋
π
?83π?
＋20，x∈[6,14] [从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝4??
Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期．
11
所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
22
12ππ又×＝14－6，所以ω＝. 2ω8
π3π又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝， 84
?π3π?所以y＝10sin?x＋?＋20，x∈[6,14]．]
4??8
4．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 收购价格y(元/斤) 1 6 2 7 3 6 4 5 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．
y＝6－cosx [设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，
2ππ?π?因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin?x＋φ?＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝
ω2?2?ππ?π?sin?＋φ?＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，
22?2?
π?ππ?所以y＝sin?x－?＋6＝6－cos x.]
2?2?2
π
2
考点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
(2)由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
π?? 已知函数y＝2sin?2x＋?. 3??(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图像；
π??(2)[一题多解]说明y＝2sin?2x＋?的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得3??到．
[解] (1)描点画出图像，如图所示：
π
(2)法一：把y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位
3
?π?长度，得到y＝sin?x＋?的图像；
3??
1?π?再把y＝sin?x＋?的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y3?2?π??＝sin?2x＋?的图像；
3??
π??最后把y＝sin?2x＋?上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y3??π??＝2sin?2x＋?的图像．
3??
1
法二：将y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝
2sin 2x的图像；
π?π??π???再将y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin?2?x＋??＝sin?2x＋?的
6??3?6???图像；
π??再将y＝sin?2x＋?的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得
3??π??到y＝2sin?2x＋?的图像． 3??
三角函数图像变换中的3个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数． (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图像，得到的是哪个函数的图像，切不可弄错方向．
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是??个单位．
π?? 1.要得到函数y＝sin?5x－?的图像，只需将函数y＝cos 5x的图像( )
4??3π
A．向左平移个单位
203π
C．向左平移个单位
4
3π
B．向右平移个单位
203π
D．向右平移个单位
4
?φ??ω?
π???π?B [函数y＝cos 5x＝sin?5x＋?＝sin 5?x＋?， 2???10?
y＝sin?5x－?＝sin 5?x－?，
420
??
π??
??
π?
?
设平移φ个单位， ππ则＋φ＝－， 1020